Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

 

 

 

 

 

Реферат

Тема: Применение оптимизационных  методов к решению экономических  задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы:

К экономическим задачам  оптимизационного типа относятся задачи, в которых требуется найти  наилучшее или оптимальное решение  при заданных условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимум или минимум. Особенностью задач оптимизационного типа является многовариантность их решений, обусловленная следующими причинами: взаимозаменяемостью ресурсов; взаимозаменяемостью готовых видов продукции; существованием альтернативных технологий производства; неодинаковостью технико-экономических показателей даже однотипных хозяйственных субъектов.

Целью работы является: ознакомление с теоретическими аспектами методов; рассмотрение применения методов на практике; на основе данного исследования сделать соответствующие выводы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

1. Теоретические вопросы
1. Динамическое программирование………………………………………….4
2. Сетевое планирование и управление……………………………………….7
3. Теория игр…………………………………………………………………..13
4. Теория массового обслуживания………………………………………….17
5. Стохастическое программирование………………………………………24
2. Применение динамического программирования  к решению

экономических задач……………………………………………………………….28

Выводы……………………………………………………………………………...32

Список использованной литературы……………………………………………...34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Динамическое программирование

 

Решение задач математического  программирования, которые могут  быть представлены в виде многошагового (многоэтапного) процесса, составляет предмет динамического программирования. Вместе с этим динамическим программированием называют особый математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к многошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд «шагов», или «этапов». Однако метод динамического программирования используется и для решения задач, в которых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги естественно (например, процесс планирования хозяйственной деятельности предприятия на отрезок времени, состоящий из нескольких лет); многие процессы можно расчленить на этапы искусственно.

Одна из особенностей метода динамического  программирования состоит в том, что принятие решения по отношению к многошаговым процессам рассматривается не как единичный акт, а как целый комплекс взаимосвязанных решений. Эту последовательность взаимосвязанных решений называют стратегией. Цель оптимального планирования — выбрать стратегию, обеспечивающую получение наилучшего результата с точки зрения заранее выбранного критерия. Такую стратегию называют оптимальной. Если, например, рассматривается работа предприятия с точки зрения его рентабельности, то критерием оптимальности будет прибыль, получаемая предприятием за хозяйственный год, а оптимальной будет стратегия, состоящая из всех тех решений, которые приведут к получению максимальной прибыли.

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Другой важной особенностью метода динамического программирования является независимость оптимального решения, принимаемого на очередном шаге, от предыстории, т.е. от того, каким образом оптимизируемый процесс достиг теперешнего состояния. Оптимальное решение выбирается лишь с учетом факторов, характеризующих процесс в данный момент. Так, при выборе кратчайшего пути, ведущего из некоторого промежуточного пункта в конечный, водитель автомобиля принимает решение независимо от того, как, когда и какой дорогой он прибыл в данный пункт, а руководствуется лишь расположением этого пункта в общей схеме дорог.

Метод динамического программирования характеризуется также тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться с учетом его последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах. Таким образом, динамическое программирование — это дальновидное планирование, планирование с учетом перспективы. Из всего сказанного следует, что поэтапное планирование многошагового процесса должно производиться так, чтобы при планировании каждого шага учитывалась не выгода, получаемая только на данном шаге, а общая выгода, получаемая по окончании всего процесса, и именно относительно общей выгоды производится оптимальное планирование. Этот принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения.

Итак, при решении оптимизационной  задачи методом динамического программирования необходимо учитывать на каждом шаге последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которым процесс заканчивается. Здесь процесс можно планировать таким образом, чтобы последний шаг сам по себе приносил максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно к нему «пристраивать» предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т. Д. Именно так от конца к началу — и можно развернуть процедуру принятия решений. Но чтобы принять оптимальное решение на последнем шаге, надо знать, чем мог закончиться предпоследний шаг. Значит, надо сделать разные предположения о том, чем мог закончиться предпоследний шаг и для каждого из предположений найти решение, при котором эффект на последнем шаге был бы наибольшим. Такое оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным.

Аналогично оптимизируется решение на предпоследнем шаге, т.е. делаются все возможные предположения о том, чем мог завершиться шаг, предшествующий предпоследнему, и для каждого из возможных исходов выбирается такое решение на предпоследнем шаге, чтобы эффект за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был наибольшим и т. д.

Таким образом, на каждом шаге в соответствии с принципом оптимальности ищется решение, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно состояния, достигнутого в данный момент. Если при движении от конца к началу оптимизируемого процесса определены условно-оптимальные решения для каждого шага и вычислен соответствующий эффект (эту стадию рассуждений называют иногда условной оптимизацией), то остается «пройти» весь процесс в прямом направлении (стадия безусловной оптимизации) и «прочитать» оптимальную стратегию, которая нас интересует.

В целом, динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.

 

1.2 Сетевое  планирование и управление

 

Метод сетевого планирования и управления пригоден как в промышленности, так и в сельском хозяйстве.

Часто приходится планировать  сложные комплексы взаимосвязанных работ, направленные на достижение определенных целей. Примерами таких комплексов в экономике могут быть: комплекс мероприятий по реконструкции и модернизации производства; комплекс мер по внедрению нового технологического процесса; совокупность работ, связанных с автоматической обработкой прогнозной и плановой информации с помощью ЭВМ и др. При этом возникает ряд важных проблем, например: наилучшая организация проведения отдельных работ с тем, чтобы завершить весь комплекс в кратчайший срок; наиболее рациональное распределение ресурсов, минимизирующее суммарные затраты по выполнению всех работ; выявление перечня работ, выполнение которых в первую очередь влияет на окончание в срок всего комплекса и др.

При планировании и оперативном управлении комплексами работ широко используются сетевые модели. Для этой цели как за рубежом, так и в нашей стране разработаны специальные системы планирования и управления (СПУ). Они включают совокупность методов исследования сложных комплексов работ, основанных на использовании сетевых графиков. Сетевой график (сеть) является графической моделью всего комплекса работ или производственного процесса. С математической точки зрения сетевой график — это связный орграф без контуров.

Методы сетевого планирования и  управления предусматривают:

- представление планов в виде  сети;

- определение календарных графиков;

- определение вероятных величин;

- возможность применения в различных  условиях.

Метод сетевого планирования и управления пригоден как в промышленности, так  и в сельском хлзяйстве.

Применение сетевого планирования и управления в сельском хозяйстве носит пока еще экспериментальный характер и ограничивается составлением планов в короткие напряженные рабочие периоды. Необходимость выполнять все сельскохозяйственные работы в установленные агротехнические сроки, неопределенность, вносимая в производственный процесс капризами погоды, несомненно, затрудняют использование экономико-математических методов, в том числе методов сетевого  анализа.

Методы сетевого планирования и  управления дают возможость:

1. заранее планировать  все действия, которые необходимо  предринять для достижения желаемого результата в будущем;

2. предсказать  вероятное время выполнения;

3. улучшить план, если предсказанное время выполнения  является недостаточно хорошим;

4. проверить ход  выполнения работ по плану;

5. использовать  инфомацию о ходе работ для своевременного планирования времени и затрат.

Особенность СПУ состоит  в использовании новой, более  совершенной формы представления  плана, которая значительно облегчает  его восприятие и упрощает процесс  руководства работами. Сетевая модель дает больше информации, чем модели типа ленточных.

Объектом управления в системах СПУ является коллектив исполнителей, располагающий определенными материальными  и денежными ресурсами и выполняющий  комплекс работ, направленных на достижение конечного результата в установленные сроки.

Сущность метода сетевого планирования и управления  заключается в особом моделировании исследуемого процесса, а именно – создаётся информационно-динамическая модель задачи.

Все методы сетевого планирования имеют  в своей основе сетевую модель, в которой условными знаками – стрелками изображают во взаимосвязи все работы, которые необходимо выполнить для достижения поставленной цели. Сеть может быть укрупненной или детальной, но в любом случае она должна давать представление о том, какими путями можно прийти к конечной цели и какие издержки при этом потребуются.

Весь комплекс операций в модели расчленён на отдельные, чётко определённые работы. Сетевой график изображается в виде ориентированного графа (множество вершин, соединённых направленными дугами).

Графическое изображение  плана в виде сети позволяет охватить весь комплекс в целом и сосредоточиться  на отдельных участках. Обзорность и полнота информации, представленной графически, сочетаются с доступностью ее для понимания специалистами, в то время как словесное описание всегда дается в расчете лишь на определенный круг работников.

В сетевом графике  используются только два элемента: 1) события (они обозначаются кружками) и 2) работы (они обозначаются стрелками). Каждая стрелка должна соединять два кружка, первый из которых обозначает начало, а второй — конец данной работы. Два кружка могут соединяться только одной стрелкой. Этим определяется последовательность выполнения каждой работы. Но несколько стрелок могут исходить из одного или подходить к одному кружку.

Пример сетевого графика, приведенный на рисунке 1, описывает следующее положение.

Событие 1 обозначает, что  началась работа а. Событие 2 фиксирует окончание работы и начало работ b и c. Иначе, условием для начала работы b и работы c является окончание работы а. Работу d нельзя начать –до окончания работы b, а работу e — до окончания работы с. Наступление события 5 знаменует собой окончание работ d и е и одновременно завершение всего комплекса.

Таким образом, все работы, включенные в комплекс, участвуют в достижении конечной цепи, и все они должны быть выполнены.

Сетевой график — изображение  условное, в котором не выдерживается  ни масштаб, ни ориентация. Важно только относительное положение стрелок, то есть какие события они соединяют

На рисунке 1 цифрами намечена продолжительность каждой работы в определенном масштабе времени. Единицами измерения здесь могут быть часы, дни, недели и т.д. События не имеют продолжительности, они означают лишь факт окончания одной работы и начала другой. Все события, кроме первого и последнего, имеют работы, предшествующие этому событию, и работы, следующие за ним.

Достижение конечной цели — свершение события, завершающего комплекс, — невозможно без выполнения всех работ, входящих в этот комплекс. Поэтому при составлении графика надо тщательно следить за тем, чтобы не включить «лишние» работы и в то же время не пропустить ни одной важной работы.