Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, имеет протяженность во времени. Термин «работа» может иметь следующие значения:

1. действительная работа, требующая затрат времени и ресурсов на определённую операцию;

2. «ожидание» – т.е. процесс, не требующий затрат труда, но занимающий время (например, процесс отвердения бетона, высыхание краски и т.п.);

3. фиктивная работа, которая указывает на логическую связь между двумя или несколькими операциями, не требующая ни затрат времени, ни ресурсов. Она изображается на графике пунктирной линией (стрелкой) и указывает на то, что начало последующей операции, зависит от результатов предыдущей.

Событие – момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени. Например, фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие поставлены, отчеты сданы и т.д.

Таким образом, начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы (i, j), состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий (Рис.2).

 

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий изображаются с помощью сетевого графика, где работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Работы, выходящие из некоторого события не могут начаться, пока не будут завершены все операции, входящие в это событие.

Событие является предпосылкой для выполнения работ, следующих за ним. Поэтому любая работа в сети может быть определена двумя событиями, между которыми она находится. Событие же может принадлежать нескольким входящим и выходящим из него работам. На рисунке 3 приведен пример сети, укрупнено изображающей комплекс работ по возведению производственного корпуса.

 

 

 

 

 

В описанном способе  представления комплекса работ  используют язык «события-работы».

При составлении сетевого графика надо помнить и о таком  правиле: если для начала некоторой работы достаточно выполнить не всю предшествующую ей работу, а лишь часть ее, то эта (предшествующая) работа разбивается на две или несколько самостоятельных, следующих одна за другой работ. Для каждой из них должна быть определена продолжительность как часть общего времени, затрачиваемого на выполнение всей данной работы.

Прежде чем использовать сетевой график как основной инструмент управления ходом работ, необходимо провести его анализ и оптимизацию. После этого осуществляется привязка сети к календарю, в результате чего создается план-график проведения работ, в котором указываются даты наступления событий, начала и окончания работ, величины резервов времени и т.д. Этот документ передается ответственным исполнителям, которые приступают к выполнению работ в соответствии с разработанным графиком. Сетевое моделирование находит широкое применение при планировании научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ. Достоинством сетевых моделей является то, что они позволяют повысить эффективность планирования. При этом следует отметить, что несмотря на все преимущества методов СПУ, их нельзя считать окончательно сформировавшимися, а сетевые модели идеальными, поскольку они не исключают влияния субъективных оценок и не обеспечивают нахождение оптимального решения.

Сетевые графики позволяют  решать оптимизационные задачи, возникающие, например, в случае необходимости  перераспределения выделенных средств на выполнение работ с целью максимального сокращения времени выполнения всего комплекса работ. Возможна и другая задача: какие дополнительные средства и в какие работы следует вложить, чтобы общий срок выполнения комплекса не превышал заданный, а дополнительные средства минимизировались.

В сетевом планировании и управлении широко применяется  аппарат математического программирования, теории графов, теории вероятностей и других математических дисциплин.

1.3 Теория игр

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых. Интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо не будучи непримиримыми все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры и т. П. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации, т. Е. ситуации, в которых интересы участников (игроков) противоположны или не совпадают, называется теорией игр. Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, определяющая рекомендации по рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наибольший выигрыш (наименьший проигрыш). Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем может быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл. Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию с помощью математических методов, ее необходимо упростить, учитывая лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Отсюда игра — это упрощенная модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Поэтому можно сказать, что игра — совокупность правил, определяющих возможные действия участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры — это значение некоторой  функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией).

Величина выигрыша зависит  от стратегии, применяемой игроком. Стратегия — это совокупность правил однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающихся в процессе игры. Всякая игра состоит из отдельных партий. Партией называют каждый вариант проведения игры определенным образом. В свою очередь в партии игроки совершают определенные ходы. Ход — это выбор и реализация игроком одного из возможных вариантов поведения. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательного, выбирает и реализует ту или иную стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор стратегии производится с использованием механизма случайного выбора, например, с применением таблицы случайных чисел.

Конфликтные ситуации, встречающиеся  в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков. Если при этом игроки объединяются, например, в две группы, преследующие противоположные цели, то имеет место игра двух «лиц» (парная игра).

Типы игр:

Кооперативная, либо коалиционная игра – это игра, в которой игроки могут объединяться в группы, накладывая на себя определенные обязательства перед другими участниками этой группы и координируя свои действия в выборе тактики приемлемой для достижения целей всей группы. Не кооперативная игра – это игра, где каждый игрок играет по принципу «каждый сам за себя».

Не кооперативные  игры описывают игру на более низком уровне в мелких деталях, полученных от каждого участника игры. Кооперативные же игры описывают общую стратегию поведения групп и общую стратегию игры в целом. Равновесие Нэша – это попытка решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия не кооперативных игр.

Игры с нулевой суммой – так называются вид игр с постоянной суммой, то есть таких в которых участники игры не могут изменить имеющиеся ресурсы и фонд игры в целом. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей.

Игры с суммой отличной от нуля – игры с непостоянной суммой предполагают, что выигрыш одного игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть отличен нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств. Примером игры с ненулевой суммой могут быть шашки, шахматы. Примером в жизни может служить обычная торговля, в которой каждый участник извлекает выгоду.

В игре с полной информацией участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры.

Большинство изучаемых  в математике игр — с неполной информацией или частично не полной информацией, то есть когда достаточно знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. Обычно представлены в нормальной форме представления.

Другой вид последовательные или динамические игры. В этих играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его оппонент из некоторого множества своих стратегий точно не выбрал какую-либо определенную, ничего не узнав о других. Они представлены в экстенсивной форме.

Симметричная  игра – это такая игра, при которой соответствующие линии стратегий у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые результаты. Проще говоря, если игроки поменяются местами, то шансы на выигрыш останутся прежними. Большинство игр, особенно для двух игроков – симметричные.

В не симметричной игре стратегии могут походить друг на друга, однако результат применения их будет разный. При выборе одной из сторон любой из стратегий результат будет меньше, чем у второй стороны.

Дискретные и непрерывные игры с бесконечным числом шагов. Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов. Примерами таких игр может оказаться практически любой процесс, происходящий в реальном мире или изучаемый в экономике. Они, как правило, длятся конечное число ходов, дабы достигнуть результата. Соответственно и стратегия подбирается в расчете на определенные рамки (временные, или количеством итераций).

Есть игры, которые расширены  на неопределенно число ходов, соответственно способные продолжаться бесконечно долго. Они обычно связываются с вещественной шкалой (обычно временной шкалой). Их называют дифференциальными, хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Тут вопрос выбора стратегии стоит по-другому – необходимо найти не оптимальное решение, а хотя бы выигрышную стратегию, чтобы на длительной дистанции поддерживать положительный результат.

Теория игр – математический метод изучения всех оптимальных стратегий процессов (игр), в которых участвует две или более сторон, которые ведут борьбу за реализацию своих целей и интересов посредством выбора и использования оптимальной стратегии, отталкиваясь от ожидаемой стратегии и поведения других сторон, участвующих в процессе. По сути это математический метод выбора оптимальной стратегии с учетом всей возможной информации и предположений о возможных ресурсах, моделях поведения и возможных стратегий всех участников игры.

 

1.4 Теория массового  обслуживания

 

Теория массового обслуживания — новое научное направление, возникновение которого было вызвано потребностью практики в анализе процессов, приводящих к скоплению, задержкам в обслуживании и очередям. За сравнительно небольшой период изучены, разнообразные системы обслуживания, предложены различные методы математического описания изучаемых процессов и решения возникающих проблем. Некоторым свидетельством интереса к теории, массового обслуживания может служить тот факт, что уже сейчас библиография этой области знания насчитывает около двух тысяч наименований'. Однако практика использования методов анализа систем обслуживания, особенно в производственной деятельности, еще отстает от уровня теоретической их разработки. В какой-то мере это связано с тем, что методы анализа систем массового обслуживания пока еще — достояние сравнительно узкого круга специалистов. Несомненно, что применение таких методов практиками — инженерами и экономистами для повышения качества функционирования и экономической, эффективности многих производственных процессов далеко не исчерпало свои возможности.

Задачи теории массового  обслуживания

Стояние в очереди  не только малоприятное занятие. Оно приводит к сокращению времени для отдыха, для повышения квалификации, воспитания детей, занятия спортом и т. Д. Такая потеря времени, вне всякого сомнения, портит настроение, утомляет человека, короче, является весьма неприятным фактором. Экономические ее последствия не видны сразу, хотя они, несомненно, существуют. Потери же времени в связи со скоплением в ходе различных производственных процессоров наносят прямой, очевидный для всех, ущерб экономике. Задержка транспортного потока у переезда через железнодорожный путь или тоннель в итоге приводит к тому, что для обеспечения необходимого объема перевозок требуется больше грузовиков; недостаточные мощности морских портов вызывают простой судов на рейде; очередь рабочих к инструментальной кладовой приводит к уменьшению объема выпускаемой продукции и т. д.