Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры

Тогда          

     Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ dg(x) буквально как дифференциал, заменить его выражением gʹ(x)dx.

     Обращаясь к случаям, когда функция g(x) оказывается разрывной, начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции ρ(x), определяемой равенствами 

     Она имеет разрыв первого рода — скачок — в точке x=0 справа, причем величина скачка ρ(+0)-ρ(0) равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функция ρ(x) непрерывна, функция ρ(x-c) будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, ρ(x-c) будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна - 1.

     Предположим, что функция f(x) непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл

                                     

 где a ≤ c < b (при c=b этот интеграл равен нулю).

       Составим сумму Стилтьеса: 

     Пусть точка с попадет, скажем, в k-тый промежуток, так что x_k ≤ c < x_k+1. Тогда Δρ(x_k-c)=1, а при i≠k, очевидно, Δρ(x_i-c)=0 , Таким образом, вся сумма σ сводится к одному слагаемому:σ=f(ξ_k). Пусть теперьλ→0. По непрерывности f(ξ_k)→f(c). Следовательно, существует (при a ≤ c < b)   

Аналогично  можно убедиться в том, что (при  a < c ≤ b)   

(при c=a этот интеграл обращается в нуль).

     Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую чем 2°, а именно, отказаться от требования непрерывности функции g(x):

3°. Пусть  функция f(x) в промежутке [a,b] непрерывна, а g(x) имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную gʹ(x), которая абсолютно интегрируема в [a,b]. При этом пусть функция g(x) в конечном числе точек a=c₀<c₁<…<c_k<…<c_m=b терпит разрыв первого рода.    Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой 
 

                                                                          

         Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции g(x) в точках a или b- односторонние, то есть если на деле в какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль.

     Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции g(x) справа и слева: 
 

очевидно, для

Составим  вспомогательную функцию: 

которая как бы вбирает в себя все разрывы  функции g(x), так что разность, g₂(x)=g(x)-g₁(x) как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.

     Для значений х, отличных от всех c_k, непрерывность функции g₂(x) не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции g(x) и g₁(x). Докажем теперь непрерывность g₂(x)в точке c_k (k<m) справа. Все слагаемые суммы g₁(x), кроме члена , непрерывны при x=c_k справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения . При x=c_k оно имеет значение g(c_k); но таков же и его предел при x→c_k+0: 

     Аналогично проверяется и  непрерывность функции g₂(x) в точке c_k(k>0) слева.

     Далее, если взять точку х (отличную от всех c_k), в которой функция g(x) имеет производную, то вблизи этой точки g₁(x)сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция g₂(x) имеет производную, причем

gʹ₂(x)=gʹ(x).

     Для непрерывной функции g₂(x), по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса 

Точно так же легко вычислить и интеграл  (13), (14) 
 
 
 

Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от f(x) по функции g(x)=g₁(x)+g₂(x) устанавливается попутно свойство 3° из п.4. 
 
 
 
 
 

Глава III.Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры.

3.1. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.

Рассмотрим  интеграл 

предполагая функцию f(t) непрерывной и положительной, а g(t) -лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция g(t) может иметь и разрывы (скачки).

     Система параметрических уравнений x=g(t), y=f(t) (17) выражает некоторую кривую (K), вообще говоря, разрывную (изображенную на рисунке 2).

 Если при некотором t=t₀ функция g(t) испытывает скачок, так что

g(t₀-0)<g(t₀+0), то этим предельным значениям x=g(t) отвечает одно и то же предельное значение y=f(t), равное f(t₀).                      (рис.2)

     Дополним кривую (K) всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек (g(t₀-0),f(t₀)) и (g(t₀+0),f(t₀)), отвечающие всем скачкам функции g(t) (см. рис.2). Таким образом, составится уже непрерывная кривая (L). Покажем, что интеграл (16) представляет площадь фигуры под этой  кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой (L), осью x и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам g(a) и g(b).

     С этой целью разложим промежуток [a,b] на части точками a=t₀<t₁<…<t_i<t_i+1<…<t_n=b и в соответствии с этим промежуток [g(a), g(b)] на оси x-на части точками  g(a)<g(t₁)<…<g(t_i)<g(t_i+1)<…<g(b).

     Введя наименьшее и наибольшее значения m_i и M_i функции f(t) в i-том промежутке [t_i,t_i+1], составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса-Д арбу 

     Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

     Так как при стремлении к 0 всех Δt_i обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что наша фигура изображенная на рисунке  квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16). 

3.2. Теорема о среднем оценки.

1°. Пусть  в промежутке [a,b] функция f(x) ограничена: m ≤ f(x) ≤ M, a g(x) монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса I от f(x) по g(x), то имеет место формула 

Это и  есть теорема о среднем для  интегралов Стилтьеса.

     Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовой суммы σ: 

Переходя  к пределу, получим 

или 

     Причем мы предполагаем g(b)>g(a), ибо случай g(b)=g(a) [то есть g(x)=const] не представляет интереса: тогда обе части формулы (18) — нули. Обозначая написанное отношение через μ придем к (18).  Если функция f(x) в промежутке [a,b] непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что μ есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) приобретает вид 

2°. В  практике интегралов Стилтьеса  наиболее важным является случай, когда функция f(x) непрерывна,  а функция g(x) имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса: 

где 

     Действительно, для суммы Стилтьеса σ будет 
 

так что  остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

3°. Отсюда  вытекает, в частности, и оценка  близости суммы σ к самому интегралу Стилтьеса I (при прежних предположениях относительно функций f и g). Представив σ и I в виде 

и почленно вычитая эти равенства, получим 

     Если, как обычно, обозначить через ω_i колебание функции f(x) в промежутке [x_i,x_i+1], так что │f(ξ_i)-f(x)│≤ ω_i для x_i ≤x ≤x_i+1, то применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами x_i и x_i+1 в отдельности, будем иметь: 

     Если промежуток [a,b] раздроблен на столь мелкие части, что все ω_i <ε, где ε >0 - произвольное наперед взятое число, то заключаем, что 

                          

3.3. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.

1°. Пусть  функции f_n(x) (n=1,2,3,…) непрерывны в промежутке [a,b] и  при n→∞ равномерно стремятся к предельной функции 

очевидно, также непрерывной, а g(x) -функция с ограниченным изменением. Тогда 

Доказательство:

      По заданному ε >0 найдется такое N ,что при n>N будет для всех x

│f_n(x)-f(x)│< ε. Тогда, в силу (21), для n>N 

что, ввиду  произвольности ε, и доказывает теорему.

2°. Пусть  теперь функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b], а функции g_n(x) (n=1,2,3,…) -все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены: 

и g_n(x) при n→∞ стремятся к предельной функции 

то 

Доказательство:

     Прежде всего убедимся в том, что предельная функция g(x) сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток [a,b] произвольным образом на части точками a=x₀< x₁ <…< x_i < x_i+1<…< x_m=b , тогда при любом n будем иметь: 

Переходя  к пределу здесь при n→∞, получим 

откуда  и 

Составим  суммы Стилтьеса 

     Если предположить, что промежуток [a,b ]при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функцииf(x)в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числаε >0, то, в силу оценки (22), при всех n  

     С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, σ_n→σ  при n→∞, так что найдется такое N, что для  n>N будет

│σ_n-σ│< ε  (24)

Тогда для тех же значений n будем  иметь, в силу (23) и (24), 
 

откуда, ввиду произвольности ε и следует требуемое заключение. 
 

3.4. Примеры и дополнения.

1) Предполагая функцию g(x) монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа ε фигурирующего в формуле (20), более точное утверждение: a< ξ<b.

     Действительно,  обозначив через m и M наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [a,b] и считая m< M (при m=M функция f(x) сводится к постоянной, и значение может быть вообще взято произвольно), легко найдем такую часть [α,β] этого промежутка, в которой границами f(x) служат числа mʹ > m и Mʹ< M, так что 

     Написав для промежутков [a,α] и [β,b] неравенства вида (19) и складывая их с предыдущими, получим взамен (19) более точные неравенства:

m[g (b)-g (a)]< I<M[g (b)-g (a)],

так что  число 

лежит строго между m и M; а тогда найдется и ξ строго между a и b, для которого μ=f(ξ), и т. д.

2) Используя  формулу (11) из п.7, формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов. Итак, пусть f(x) интегрируема (в смысле Римана), а g(x) монотонно возрастает (случай, когда g(x) монотонно убывает, легко приводится к этому) в промежутке [a,b]. Введем функцию 
 

она, как  мы знаем, будет непрерывна. Теперь последовательно имеем 
 
 
 

что и  требовалось доказать.

     Если g(x) монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно ξ: a< ξ< b.