Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры

    Содержание:

    Введение.                                                                                                                  3                                                                                                                                    

    Глава I.Раскрытие основного понятия.                                                                  4

    1.1.Определение интеграла Стилтьеса.                      4

1.2. Общие условия   существования   интеграла Стилтьеса.                     5

1.3. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.              6

Глава II.Свойства интеграла Стилтьеса и способы его вычисления.         11

2.1.Свойства интеграла Стилтьеса.                11

2.2. Интегрирование по частям.               14

2.3. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.              15

2.4. Вычисление интегралов Стилтьеса.              18

Глава III.Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры.           23

3.1. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.           23

3.2.Теорема о среднем, оценки.                  24                                                                           3.3. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.           26

3.4.Примеры и дополнения.                28

3.5. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу          Стилтьеса.                               31

3.6.Примеры.                  32

Заключение.                  37

Список  литературы.                 38 
 
 
 
 
 

Введение.

     Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют 
" не слишком много " точек разрыва. 

     Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений : это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла. 

     Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его. 

     Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

     Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена раскрытию основного понятия, определение самого интеграла. 

     Во второй главе рассмотрены свойства, способы его вычисления.

     Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках, а так же множество примеров. 
 
 
 
 

Глава I.Раскрытие основного понятия.

1. Определение интеграла Стилтьеса.

     Интеграл Стилтьеса является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Римана. Определяется он следующим образом.

Пусть в промежутке [a,b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x).    Разложим точками a=x₀ < x₁< x₂ <…< x_n-1< x_n=b   (1)                   

промежуток  [a,b] на части и положим, λ=maxΔx_i. Выбрав в каждой из частей [x_i,x_i+1](i=0,1,…,n-1) по точке ξ_i,, вычислим значение f(ξ_i) функции f(x) и умножим его на соответствующее промежутку [x_i,x_i+1] приращение функции g(x) 

Наконец, составим сумму всех таких произведений: 

Эта сумма  носит название интегральной суммы  Стилтьеса.

     Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении λ=maxΔx_i к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) при а<b, и обозначается символом

 

     Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение 

       Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа ε >0 существует такое число δ>0, что лишь только промежуток [a,b] раздроблен на части так, что λ<δ и выполняется неравенство | σ - I |< ε как бы ни выбирать точки ξ_i в соответствующих промежутках.

     При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции g(x). Единственное, но существенное отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что f(ξ_i) умножается не на приращение Δx_i независимой переменной, а на приращение Δg(x_i) второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции g(x) взята сама независимая переменная х: g(x)=x. 

1.2. Общие условия   существования   интеграла Стилтьеса.

     Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь предположением, что функция g(x) монотонно возрастает.

Аналогично  суммам Дарбу, и здесь целесообразно  ввести суммы 

Где m_i и M_i означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f(x) в i-том промежутке [x _i,x _i+1].  Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу—Стилтьеса. Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)  s ≤ σ ≤ S, причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм σ.

     Сами суммы Дарбу -Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:

1˚. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может только возрастать, а верхняя сумма только убывать.

2˚. Каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если  ввести нижний и верхний  интегралы Дарбу  — Стилтьеса: 

то  оказывается, что 

     Наконец, с помощью сумм Дарбу — Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было 

или

                                                                         

если  под ω_i, как обычно, разуметь колебание M_i-m_i функции f(x) в i-том промежутке [x _i,x _i+1]. 

1.3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.

     Определение функции с ограниченным изменением:

     Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a,b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления: x₀= a < x₁< x₂ <…< x_n-1< x_n=b.

 Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму 

     Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f(x) в промежутке [a,b] имеет ограниченное изменение (или ограниченную вариацию). При этом точную верхнюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом 
 

I. Если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет ограниченно изменение, то интеграл Стилтьеса 

существует.

     Сначала предположим, что g(x) монотонно возрастает: тогда применим  предыдущий критерий. По произвольно заданному ε >0 ввиду равномерной непрерывности функции f(x) найдется такое δ>0 , что в любом промежутке с длиной, меньшей δ, колебание f(x) будет меньше  

     Пусть теперь промежуток [a,b] произвольно разбит на части так, что λ=maxΔx_i<δ. Тогда все    и

   

откуда  и следует выполнение условия (4), а значит интеграл существует. В общем случае, если функция g(x) имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: g(x)=g₁(x)-g₂(x). В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции g(x): 
 

        Так как по уже доказанному каждая из сумм σ₁ и σ₂ при  λ→0 стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы σ,что и требовалось доказать.

     Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f(x),если одновременно усилить требования к функции g(x):

II. Если функция f(x) интегрируема в [a,b] в смысле Римана, а g(x) удовлетворяет условию Липшица:   
            

(L=const., ), то интеграл (5) существует.

     Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию g(x) не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей. Ввиду (6), очевидно

Δg(x_i)≤ LΔx_i , так что 

     Но последняя сумма при λ→0 и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости  (в  смысле Римана) функции f(x), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

     В общем случае функции g(x), удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности 

     Функция g₁(x)=Lx, очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции g₂(x)=Lx-g(x), так как, в силу (6), при  

и 
 

В таком  случае рассуждение завершается, как  и выше.

III. Если функция f(x) интегрируема в смысле Римана, а функция g(x) представима в виде интеграла с переменным верхним пределом: 

Где φ(t) абсолютно интегрируема в промежутке [a,b], то интеграл (5) существует.

     Пусть φ(t) ≥ 0, так что g(x) монотонно возрастает. Если φ(t) интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:φ(t) ≤ L, то для

  имеем 

Таким образом, в этом случае g(x) удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

     Предположим теперь, что φ(t) интегрируема  в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем b. Прежде всего, по произвольно взятому  ε >0  выберем η>0 так, чтобы было 

Где Ω—общее колебание функции f(x) в рассматриваемом промежутке.      Разобьем промежуток [a,b] по произволу на части и составим сумму 
 

Она разлагается  на две суммы  Σ=Σʹ+Σʺ , из которых первая отвечает

промежуткам, целиком содержащимся в промежутке [a,b- η/2], а вторая — остальным промежуткам. Последние наверное содержатся в промежутке    [b-η,b], если только λ= max Δx_i< η/2; тогда, в силу (8),