Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры

     С другой стороны, так как в промежутке [a,b- η/2] функция φ(t) интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом λ и сумма Σʹ станет меньше ε/2. Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

     В общем случае, когда функция φ(t) абсолютно интегрируема в промежутке[a,b], мы рассмотрим функции, 

которые неотрицательны и интегрируемы в названном промежутке. Так как 

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция g(x) непрерывна в промежутке [a,b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную gʹ(x) причем эта производная, если ее значения в точках, где она не существует, выбрать по произволу, интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от а до b; тогда имеет место формула типа (7): 

     Если gʹ(x) абсолютно интегрируема, то к функции g(x) полностью приложимо изложенное в III. 
 
 
 

Глава II.Свойства интеграла Стилтьеса и способы его вычисления.

2.1. Свойства интеграла Стилтьеса.

     Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают  следующие его свойства:  
 
 
 

Доказательство: 
 
 

=

Что и  требовалось доказать. 

     При этом в случаях 2°, 3°, 4° из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем 

в предположении, что a< c <b и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой  формулы достаточно лишь озаботиться включением точки c в число точек деления промежутка [a,b] при составлении суммы

Стилтьеса для интеграла .

     По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов  .

     Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано - Коши.

Теорема (Больцано–Коши). Для того чтобы функция f(x) при стремлении x к а имела конечный предел, то есть сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа ε >0 существовало такое число δ >0, чтобы неравенство│f(x)- f(xʹ)│>ε выполнялось, лишь только │x-a│< δ, │xʹ-a│< δ.

     Таким образом, по заданному  ε >0 ввиду существования интеграла   найдется такое δ >0, что любые две суммы σ и Стилтьеса, которым отвечают λ и , разнятся меньше чем на ε. Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток [c,b] , брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку [a,c], так как прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a,c] и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . 
     Аналогично устанавливается и существование интеграла Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов  , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

     Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке [-1,1] функции f(x) и g(x) заданы следующими равенствами: 
 

Легко видеть, что интегралы 

оба существуют и равны 0, так как соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда f(x)=0, для второго-из постоянства функции g(x), благодаря чему всегда Δg(x_i)=0. В то же время интеграл 

не существует. Действительно, разобьем промежуток [-1,1] на части так,

чтобы точка 0 не попала в состав точек  деления, и составим сумму 

     Если точка 0 попадает в промежуток [x_k,x_k+1], так что x_k <0 <x_k+1, то

в сумме σ останется только одно k-тое слагаемое; остальные будут нули, потому что Δg(x_i)=g(x_i+1)-g(x_i)=0 для  i≠k. Итак, σ=f(ξ_k)[g(x_k+1)-g(x_k)]=f(ξ_k)

     В зависимости от того, будет ли ξ_k ≤ 0 или ξ _k > 0, окажется σ=0 или σ=1, так что σ предела не имеет.

     Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке x=0 для обеих функций f(x) и g(x). (По примерам и дополнениям, которые мы рассмотрим далее). 

2.2. Интегрирование по частям.

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

                                                                        в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям.

Доказательство: 

Пусть  существует интеграл . Разложив промежуток [a,b] на части

 [x_i,x _i+1](i=0,1,…,n-1), выберем в этих частях произвольно по точке ξ_i, так что 

Сумму Стилтьеса для интеграла  

Можно представить в виде 

Если  прибавить и отнять справа выражение  

 
то  σ перепишется  так: 
 

     Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла ,существование которого предположено.

     Она отвечает разбиению промежутка [a,b] точками деления  

если  в качестве выбранных из промежутков  [ξ _i-1,ξ_i](i=1,…,n-1) точек взять x_i, а для промежутков [a,ξ₀] и [ξ_n-1,b], соответственно, a и b. Если, как обычно, положить λ=max(x_i+1-x_i), то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2λ. При λ→0 сумма в квадратных скобках стремится к  , следовательно, существует предел и для σ, то есть интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

     Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема по функции g(x). 
 

2.3. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.

      Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b],а g(x) ' монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки υ=g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке  1 изображен график функции υ=g(x). Для тех значений x=xʹ при которых функция g (х) испытывает скачок (так как мы вовсе не предполагаем g(x) обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (xʹ,g(xʹ-0)) и (xʹ,g(xʹ+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению υ между υ₀=g(a) и V=g(b) относит одно определенное значение х между а и b. Эта функция

x=g ^-1(υ), очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную  для функции υ= g (х).                                                                                                                                                                                        

     Именно, если ограничиться лишь теми значениями υ, которые функция υ= g (х) действительно принимает при изменении x от a до b, то x=g ^-1(υ) является обратной для нее в обычном смысле, то есть относит υ именно то значение x, при котором  g (х)= υ.                             (рис.1)

     Но из промежутка значений υ  [g(xʹ-0),g(xʹ+0)], связанного со скачком функции g(x), лишь  одно значение  υ=υʹ=g(xʹ) имеет себе соответствующим значение x=xʹ; другим значениям υ в упомянутом промежутке никакие значения х, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение x=xʹ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции y=g(x) рядом вертикальных отрезков.

      Докажем теперь, что 

 где  последний интеграл берется в  обычном смысле, его существование  обеспечено, так как функция g ^-1(υ), а с нею и сложная функция f(g ^-1(υ)), непрерывна. С этой целью разложим промежуток [a,b] на части с помощью точек деления  a=x₀ < x₁<…< x_i <x _i+1 <…< x_n=b и составим стилтьесову сумму

.

     Если положить υ=g(x_i)(i=0,1,…,n), то будем иметь 

Так как, x_i = g ^-1(υ_i), то 

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла  

Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно  заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), так как даже при  Δx_i→0(λ→0) может оказаться, что Δυ_i к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися x_i  и x_i+1 будет заключено значение x=xʹ, где функция  g(x) испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем 

и 

так что 

     Предположим теперь Δx_i настолько малыми, чтобы колебания функции f(x) во всех промежутках [x_i,x_i+1] были меньше произвольного наперед заданного числа ε >0. Так как при, υ_i ≤ υ ≤ υ_i+1 очевидно, x_i ≤ g ^-1(υ) ≤ υ_i+1,

то одновременно и 

В таком  случае 

Этим доказано, что 

откуда  и следует (10).

     Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. 

2.4. Вычисление интегралов Стилтьеса.

Докажем следующую теорему:

1 °.  Если функция f(x) интегрируема в смысле Римана в промежутке [a,b], а g(x) представлена интегралом  

где функция φ(t) абсолютно интегрируема в [a,b], то 

     Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано в п.3(III). Остается лишь установить равенство (11).

      Предположим, для упрощения, что функция φ(t) положительна. Составим, как обычно, сумму Стилтьеса 

Так как, с другой стороны, можно написать 

то будем  иметь 

     Очевидно, для x_i ≤ x≤ x_i+1 будет │f(ξ_i)-f(x)│≤ ω_i, где ω_i означает колебание функции f(x) в промежутке [x_i,x _i+1]. Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности: 

    

По доказанному в п.3(III) нам известно, что при λ→0 последняя сумма стремится к 0, следовательно, 

что и  доказывает формулу (11).

     В частности, из доказанной теоремы вытекает такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2°. При  прежних предположениях относительно  функции f(x) допустим, что функция g(x) непрерывна во всем промежутке [a,b] и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную g, которая в [a,b] абсолютно интегрируема, если ее значения в точках, где она не существует, выбрать по произволу.