Практическое применение численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений

Следовательно, требуется  найти такое значение параметра  , чтобы оно было корнем нелинейного уравнения

 

Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих.

 

Рис. 2

В случае использования метода половинного деления сначала  делают «пробные» выстрелы при выбранных  наугад или в соответствии с некоторым  алгоритмом значениях   до тех пор, пока среди значений не окажется двух противоположных по знаку. Им соответствует начальный интервал  неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам.

При применении метода секущих  используется формула

 

где— начальные значения параметра, k — номер итерации. Итерации прекращаются при выполнении условия окончания или с некоторым положительным , характеризующим точность решения задачи.

Замечание. Точность решения  краевой задачи зависит не только от точности определения параметра , но также и от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбирать более точный метод.

Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи (3),( 4):

 

 

Методика решения  линейной краевой задачи

1. Решить две задачи Коши

 

при условии 

                                           (20)

а именно при   задается y, тогда , а при задается и тогда с разными произвольными значениями  т.е.

2. Найти значения функции и новое значение параметра:

 

3. Решить краевую задачу (19), (20) при В результате получится приближенное решение исходной линейной краевой задачи, точность которого определяется точностью решения задачи Коши при значении

Таким образом, в силу линейности поставленной краевой задачи  соответствующая  задача Коши решается только три раза.

Пример 3. Методом стрельбы найти приближенное решение нелинейной краевой задачи

Соответствующую задачу Коши решить явным методом Эйлера с  шагом, а параметр вычислить методом половинного деления.

Решение.

 Зададим начальные  значения параметра , которые обеспечивают разные по знаку значения функции . Они являются соответственно левым и правым концами начального интервала неопределенности. Согласно методу половинного деления будем делить текущий интервал пополам и в качестве нового интервала выбирать тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Процедуру поиска завершим при выполнении условия , где положим = 0,01.

Для применения явного метода Эйлера  уравнение следует переписать в форме , а затем с помощью введения новой переменной в виде (1.13):

 

Результаты интегрирования явным методом Эйлера с шагом  h=0,01 с параметром , определяемым методом половинного деления, приведены в табл. 1.2. Четыре первых решения у(х,) изображены на рис. 2,б.

k
0	0	1,000000	-1,718000
1	1,35	3,822746	1,104700
2	0,675	1,959583	-0,758417
3	1,0125	2,738495	0,020495
4	0,84375	2,316000	-0,402000
5	0,934375	2,53400	-0,184000
6	0,9734375	2,634597	-0,083403
7	0,99296875	2,686050	-0,031950
8	1,002734375	2,712146	-0,005850

Таблица 1.2

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	1	1,105	1,2208	1,3489	1,4905	1,6468	1,8196	2,0106	2,2215	2,4546	2,7121

Таблица 1.3

Последний интервал неопределенности удовлетворяет условию окончания процесса: = 0,009765625 < = 0,01. Полученное  приближенное решение приведено в табл. 1.3.

 

Глава 2. Практическое применение численных методов решения  краевых задач для дифференциальных уравнений.

2.1 Метод стрельбы.

Рассмотрим пример решения  краевой задачи,

e

используя встроенные и графические  возможности математического пакета Mathcad.

Решение:

1.  Запишем исходные данные задачи.

2. Определим: – границы интервала, количество шагов, краевые условия, и решим полученную в результате преобразований задачу Коши методом Рунге-Кутты, используя встроенную функцию rkfixed(y,a,b,m,D) (см. рис.1)

Рис. 1

Однако необходимо добиться, чтобы y₁(0,6)=-1,2. Для этого и будем использовать метод стрельбы.

3. Составим программу,  реализующую метод стрельбы (см. рис. 2):

Вычисление нового предполагаемого  значения с помощью двух предыдущих (метод секущих):

Рис. 2. Программа, реализующая метод стрельбы

Результатом запуска программы  будет искомое значение решения  дифференциального уравнения на границе интервала и максимально  приближенное к заданному значению (в зависимости от точности) в  конце, полученное в результате использования  метода стрельб.

Недостающее начальное условие  - .

4. Конечное решение поставленной  задачи: Z:=rkfixed(y,a,b,n,D) Проверка значения  на правом конце интервала:  должно быть максимально близким  к данному значению в условии.

Zn,p=-1,2 (в этом случае совпадает) 

5. Визуализируем полученное  решение (см. рис. 3):

 

2. Метод конечных разностей.

Попробуем решить ту же самую  краевую задачу для ОДУ методом конечных разностей, после чего будет возможность сравнить полученные результаты.

Сначала мы вводим исходные данные те же, что и в предыдущем пункте.

Но в отличие от метода стрельбы, нам придется разбить интервал на k частей и сформировать трехдиагональную матрицу с помощью формул аппроксимации и конечно-разностной схемы.

 

 

 

Полученную систему линейных алгебраических уравнений мы решим с помощью метода прогонки, для этого напишем специальную функцию, которая будет искать корни при заданном значении количества элементов.

Для сравнения можно найти  два решения с разным количеством  разбиений.

Найдем погрешность между ними и построим график функций.

Среднее значение погрешности: 

3. Сравнение результатов вычислений.

В данном пункте показано сравнение  между результатами, полученными  из вычислений. Приведен сравнительный  график и таблица.

Y1 – график функции, полученный методом стрельбы,

Y2 – график функции, полученный конечно-разностным методом.

Из графика можно заметить, что погрешность между двумя  полученными функциями очень  мала, рассчитаем её, чтобы убедиться  в этом.

Для сравнения результаты приведены в сводной таблице, где 

y₁ – значения, полученные методом стрельбы,

y₂ – значения, полученные конечно-разностным методом,

D_y - абсолютная погрешность между ними.

 

Подсчитаем среднее значение погрешности:

DD

 

Сводная таблица