Практическое применение численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………….2

Глава 1. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1. Постановка задачи и основные положения………….……….…….5

1.2. Метод прогонки……………………………………………………...12

1.3. Конечно-разностный метод (метод сеток)………………..………..15

1.4. Метод стрельбы……………………………………..….…………….24

Глава 2. Практическое применение численных методов решения краевых  задач для дифференциальных уравнений.

2.1. Метод стрельбы…………………………………………………….....29

2.2 . Конечно-разностный метод (метод сеток)………………………….33

2.3. Сравнение результатов  вычислений………………………………....37

Заключение……………………………………………………………………….43

Список литературы………………………………………………………………44

 

Введение

Актуальность  темы дипломного исследования:

При исследовании многих прикладных и теоретических задач современного естествознания и при инженерных расчетах часто требуется отыскивать решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным краевым условиям.

Современная вычислительная техника и накопленный вычислительный опыт позволяют приближенно рассчитывать решения больших и сложных  задач для дифференциальных уравнений. Особую важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения. Она зависит  от точности используемой ЭВМ и влияния  на решение неизбежных ошибок входных  данных и ошибок округления.

Существуют мощные пакеты, позволяющие решать как аналитически, так и численно многие задачи для  обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уверенному использованию таких  пакетов помогают знания вычислительных методов решения ОДУ и их особенностей. Встречаются также задачи, для  которых требуется модифицировать старые или создавать новые методы и алгоритмы. [12]

Методы решения краевых  задач подразделяются на точные аналитические, приближённые и численные.

Аналитические методы изучаются  в курсе дифференциальных уравнений и применимы лишь для решения узкого класса уравнений, например, для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и др.

Приближённые методы возникли до появления ЭВМ и не утратили до  сих пор своего значения. Это— методы коллокаций, наименьших квадратов, метод Галёркина, вариационные и проекционные методы. Приближенные методы состоят из аналитических методов решения ОДУ. Так метод коллокаций, а также схожий с ним метод Галеркина, подразумевают введение операторов для уравнения и краевых условий и выбор базисных функций, удовлетворяющих условию, дальнейшее решение производится по формулам, связывающим базисные функции с искомой функцией. Суть вариационных методов заключается в приведении краевой задачи к аналогичной вариационной задаче и ее последующем решении.

Численные методы решения  дифференциальных уравнений подразделяются на две группы:

1) методы сведения решения краевой задачи к последовательности решений задач Коши (методы стрельбы);

2) конечно-разностные методы (метод сеток);

В данной работе я рассматриваю только численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей является мощным аппаратом вычислительной математики, с помощью которого решаются разнообразные задачи из различных областей науки. Метод конечных разностей называется также методом сеток. Следует, отметить, что даже корректно поставленная задача может быть неустойчивой при численном решении, т.е. малые ошибки при вводе данных и неизбежные ошибки округления могут привести к большой погрешности результата.

Цель данной дипломной работы рассмотрение основных численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и их практическое применение.

Исходя из цели, в дипломной работе поставлены и решены следующие задачи:

• Рассмотреть постановку краевой задачи и ее основные положения;
• Изучить теоретические основы решения краевых задач для ОДУ методом сеток и методом стрельбы;
• Рассмотреть практическое применение этих методов.

Объектом исследования являются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предметом исследования считаются численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы  исследования: анализ и систематизация научной литературы. 
Практическая значимость исследования заключается в том, что материалы дипломной работы могут быть использованы студентами во время учебной деятельности, и для написания курсовых работ, а также при подготовке к занятиям по численным методам.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Анализ сложных математических моделей, при помощи которых исследовались  физические процессы, требовал создания численных методов их решения. Методы Ньютона, Эйлера, Чебышева, Гаусса и  другие свидетельствуют о том, что  эти и другие  известные математики занимались разработкой численных методов. В начале XIX века широко развиваются численные методы решений дифференциальных уравнений, такой как метод сеток. Конечно-разностные методы решения уравнений были предложены еще в 1928 году в знаменитой статье Куранта, Фридрихса и Леви, но на практике эти методы стали применяться лишь 15 лет спустя.

Появление компьютерной техники инициировало ученых создать область математики, которая призвана разрабатывать математические методы доведения до числового результата решений разнообразных прикладных задач и пути использования для этой цели  средств автоматизации вычислений. Эта область математики получила название вычислительной математики. Существенный вклад в развитие вычислительной математики внесли Н.С. Бахвалов, А.О. Гельфонд, Б.Г. Галеркин, С.К. Годунов, А.А. Дородницын, Л.В. Канторович, Л. Коллатц, А.Н. Крылов,  Р. Курант, К. Ланцош, Г. Леви, Г.И. Марчук, Р.Д. Рихтмайер, А.А. Самарский, Дж. Скарборо, А.Н. Тихонов, К. Фридрихс и другие ученые.

Одними из первых авторов учебных пособий по численным методам в России являются А.А. Марков, А.Н. Крылов, Я.С. Безикович и А.А. Фридман.

С развитием современных информационных технологий в настоящее время численные методы находят широкое применение в физике, химии, баллистике, биологии, экономике и др., для которых разработаны эффективные численные методы нахождения приближенных решений, которые представляют собой конструктивные вычислительные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности.

Работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

В введении обоснована актуальность, поставлена цель и определены задачи работы. В первой главе рассматриваются теоретические основы численных методов решения краевых задач для ОДУ, во второй главе показано применение этих методов к решению задач. В заключении делаются основные выводы работы .

 

Глава 1. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи и основные положения

Краевая задача - часто встречающаяся  в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

Рассмотрим двухточечные краевые задачи, часто встречающиеся  в  приложениях, например, при решении  задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа и др. Пусть дано обыкновенное  дифференциальное уравнение.

                    (1)

и краевые условия

 

(2) 

где ; ; - функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; L и (n - L) — число условий на левом и правом концах отрезка [а,b] соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения.

Требуется найти функцию у = у(х), которая на отрезке [а,b] удовлетворяет уравнению (1), а на концах отрезка — краевым условиям (2).

Если уравнения (1),(2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся  частным случаем линейной краевой  задачи для дифференциального уравнения второго порядка (n = 2), которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

                  (3)

                                                (4)

где , q(x), f(x) [a,b] - заданные функции, a , - заданные числа,

Запись f(x) [G] (f(x) принадлежит классу [G]) означает, что на некотором интервале , который включает в себя [a,b], существует раз непрерывно дифференцируемая функция, такая что на Тогда значения производных от на концах [a,b] будут соответствовать производным функциям в этих точках.

Требуется найти функцию  , удовлетворяющую уравнению (3) и краевым условиям (4).

Краевые условия при , задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка [а,b].

В простейшем случае, когда , , краевые условия задают на  концах отрезка [a,b] только значения функции . Такие функциональные  условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда ,  т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка [a,b] всего лишь  наклоны интегральных кривых, а не значения функции ). В этом случае задача (3),(4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда  и (или) ; и (или) не равны нулю,  краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода. Тогда задача (3),(4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия

 

являются условиями первого  рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой  задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (1.3), проходящую через  данные точки  (рис. 1,a).

Условия 

 

являются условиями второго  рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые под заданными углами , где tg = A, tg = В (рис. 1,б).

Условия 

являются частным случаем  краевых условий третьего рода, так  как = 0, =1,=1,=0. Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку и пересекающей прямую под данным углом , где tg = A (рис. 1,в).

Рис.  1

В общем случае краевая  задача может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь несколько или  бесконечно много решений.

Утверждение 1. (о существовании и единственности решения краевой задачи (3),( 4)) [6].

Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (3),( 4), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

,

 

 имела только тривиальное решение .

Пример 1. Найти аналитическое решение следующих краевых задач:

а) (третья краевая задача);

б) (первая краевая задача).

Решение.

Воспользуемся известной  методикой отыскания общих решений  дифференциальных уравнений [33]. Подставив  в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач.

1. Найдем общее решение  однородного уравнения  одинакового для обеих рассматриваемых задач. Так как характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни , то общее решение будет .

2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Подставляя в уравнение , а в уравнение , получаем . Поэтому в случае «а», в случае «б».

3. Найдем общее решение  неоднородного уравнения как  сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

а) ;         б).

4. Определим значения  произвольных постоянных из краевых  условий третьего рода (случай  «а») и первого рода (случай  «б»):

а) найдем

Тогда

 

Отсюда  - решение краевой задачи «а»;

б) .

 Отсюда и решение краевой задачи «б». Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям. 

Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых  задач применим для ограниченного  класса задач. Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены.

 

2. Метод прогонки

Метод применим в случае, когда матрица А — трехдиагональная. Общая постановка задачи имеет следующий вид.

Дана система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей А. Развернутая запись этой системы имеет вид