Повторные ряды

План  работы

      Введение……………………………...………………….…… 5

     §1 Повторные ряды ……………….......................................... 6

     §2. Сходимость повторных рядов …………………………... 7

     §3. Двойные ряды …………………………………………….. 10

     Практическая  часть…………………………………………... 13

     Заключение…………………………………………………… 14

     Литература……………………………………………………. 15

 

Введение

      Рассмотрение  бесконечного ряда и его суммы  есть просто новая форма изучения последовательности и ее предела. Но эта форма представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

      Понятие произведения двух рядов можно рассматривать  как пример более общего понятия  двойных рядов, изучению которых посвящена данная курсовая работа. 

 

§1 Повторные ряды

      Пусть задано бесконечное множество чисел

  ,

зависящие от двух натуральных значков. Представим себе их расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:

                                    (1)

Такого  рода матрица носит название бесконечной  прямоугольной матрицы с двумя  входами.

     Теперь  остановимся на одном понятии, связанном  с рассмотрением матриц вида (1) – понятии повторного ряда.

     Если  в бесконечной прямоугольной  матрице просуммировать каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную  последовательность рядов вида:

.                                                   (2)

     Просуммировав теперь эту последовательность вторично, будем иметь

.                                               (3)

Полученный  символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т.е. если суммировать члены нашей бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный ряд

.                                                (4) 
 
 

§2 Сходимость повторных рядов

      Повторный ряд (3) называется сходящимся, если, во-первых, сходятся все ряды по строкам (2) (их суммы , соответственно обозначим через ) и, во –вторых, сходится ряд

;

его сумма  и будет суммой повторного ряда (3). Легко перефразировать все это  и для ряда (4).

      Элементы  матрицы (1) можно многими способами  представить в виде обыкновенной последовательности

                                                       (5)

и по не составить простой ряд 

.                                                       (6)

      Обратно, если имеем обыкновенную последовательность (5), то разбив все его члены (не считаясь с их месторасположением) на бесконечное  множество бесконечных групп, можно  ее представить многими способами  в виде матрицы с двумя входами (1), и по этой матрице составить повторный ряд (3). Естественно встает вопрос о связи между рядами (6) и (3), состоящих из одних и тех же членов.

      Теорема 1. Если ряд (6) сходится абсолютно к сумме , то, как бы ее члены не расположить в виде матрицы (1), сходится и повторный ряд (3), причем имеет ту же сумму.

      Доказательство. Ряд

                                                       (6^*)

по предположению, сходится; обозначим его сумму  через  .

      Тогда, прежде всего, при любых  и ,

,

откуда  следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда (при любом ).

      Далее, для любого числа  найдется такое число , что

       ,                                                   (7)

следовательно, и подавно

.                                       (8)

      Члены ряда (6) содержатся в первых строках и первых столбцах матрицы (1), если и достаточно велики, скажем, при и . Тогда для указанных и выражение

      представляет  сумму группы членов с номерами, большими , и ввиду (7) по абсолютной величине . Переходя к пределу при , получим (для )

,

так что  – в связи (8) – 

,

откуда  следует сходимость повторного ряда(3), и именно к сумме .

      Обратная  теорема имеет место лишь при  усилении предположений о повторном  ряде.

      Теорема 2. Пусть дан повторный ряд (3). Если по замене его члено их абсолютными членами получается сходящийся ряд, то сходится не только ряд (3), но и простой ряд (6), состоящий из тех же членов, что и ряд (3), расположенных в любом порядке, и притом – к той же сумме.

      Так как, очевидно, все сказанное о  повторном ряде (3) справедливо и  для повторного ряда (4), то как следствие из доказанных теорем получается следующее важное предложение, которое часто бывает полезно.

      Теорема 3. Пусть дана матрица (1). Если по замене членов ряда (3) их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходятся оба повторных ряда (3), (4) и имеют ту же сумму:

.

 

§3. Двойные ряды

      С бесконечной прямоугольной матрицей (1) связано и понятие двойного ряда. Так называется символ

                                 (10)

      Ограничившись первыми столбцами и первыми строками, рассмотрим конечную сумму

называемую  частичной суммой данного двойного ряда. Станем увеличивать числа  и одновременно, но независимо друг от друга, устремляя их к бесконечности. Предел (конечный или бесконечный)

называют  суммой двойного ряда, и пишут

.

      Если  ряд (10) имеет конечную сумму, его  называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

      На  двойные ряды легко перенести  теоремы об умножении членов сходящегося  ряда на постоянное число и о почленном  сложении и вычитании двух сходящихся рядов.

      Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо стремление к 0 общего члена:

.

      Естественно сопоставить двойной ряд (10) с  повторными рядами (3) и (4), рассмотренными выше. Так как

,

то, переходя здесь при фиксированном  к пределу при ( в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим

.

Теперь  ясно, что сумма повторного ряда (3) есть не что иное, как повторный  предел

.

      Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (10) и 2) сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд

.

      Аналогичная теорема имеет место и для  второго повторного ряда (4).

      Вопрос  о сходимости двойного ряда (10) просто решается для случая положительного ряда, т.е. ряда с неотрицательными членами.

      Теорема 5. Для сходимости ряда (10), если , необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.

      Рассмотрим  теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (1), а значит и в ряде (10), есть бесконечное множество как положительных и отрицательных элементов.

      Кроме матрицы (1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов.

и по этой матрице составим двойной ряд

.                                                 (10^*)

      Теорема 6. Если сходится ряд (10^*), то и ряд (10) сходится.

      Если  одновременно с рядом (10) сходится и ряд (10^*), то ряд (10) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (10) сходится, а ряд (10^*) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.

 

Практическая  часть

     1) Показать, что если  , , , , , .

     2) Обращением ряда  (где ) в двойной ряд показать, что он равен

     Решение:

     1)

,

,

.

      Рассмотрим  сумму по строкам:

      Рассмотрим  сумму по столбцам:

 

Заключение

      Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

      В данной курсовой работе введено понятие двойных и повторных рядов. Рассмотрена теория сходимости двойных и повторных рядов.

 

Литература

     1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

     2. Данко П.Е. Высшая математика  в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высш. шк., 1999.

     3. Ильин В.А. и др. Математический  анализ. – М.: Изд-во МГУ, 1987.

     4. Д.Т. Письменный. Конспект лекций  по высшей математике. Ч. 2. – Айрис-пресс, 2006.

     5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс  современного анализа. Основные  операции анализа. Ч. 1. – М:  Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963.