Понятие о сферической геометрии

  

Будем говорить, что полученная риманова метрика  на S² является индуцированной на сфере объемлющей евклидовой метрикой трехмерного пространства.

     Итак, рассмотрим сферу S², снабженную индуцированной римановой метрикой. На S² можно ввести и другие криволинейные координаты, иногда используемые при конкретных вычислениях. Для примера, рассмотрим стереографическую проекцию сферы S² на плоскость R². Для этого поместим центр сферы радиуса R в начало координат О и рассмотрим координатную плоскость R²(x,y), проходящую через точку О; отметим также на S² северный полюс N и южный полюс S. Пусть P – произвольная точка сферы, отличная от N; соединим N с P и продолжим отрезок NP до пересечения с плоскостью R²  в точке Q. Сопоставим точке P точку Q.

      

  

 

       

     Получаем некоторое отображение :S² R², которое и называется стереографической проекцией сферы на плоскость. Как видно из построения, отображение определено во всех точках сфера, за исключением северного полюса N. Можно условно считать, что северный полюс изображает бесконечно удаленные точки двумерной плоскости (рис. 1). Запишем отображение аналитически. Для этого следует ввести координаты как на сфере, так и на плоскости. Рассмотрим, например, сферические координаты в R³. Эти координаты индуцируют координаты на сфере и на плоскости. 

 
 

 

Ясно, что  точка N имеет координаты (0,0,R); пусть точка P(x,yz,); точка Q(u,v,0). Видно, что NP и NQ коллинеарные. Получаем систему:

 

Из первого  уравнения выразим x и y:

                                         

Подставим их во второе уравнение:

;

При z=R: x=0

                 y=0

При :

                           

Таким образом, формулы стереографической  проекции принимает вид:

  (3.8)

     Евклидова метрика пространства E³ индуцирует на сфере S² риманову метрику. Зададим ее:

Имеем

Вычисляем:

 

И, следовательно:

  (3.9)

     Следует отметить, что полученный вид метрики  на сфере отличается от евклидовой метрики на плоскости, записанной в  полярных координатах, то есть от , только переменным множителем . Такие метрики называются конформными.

     Таким образом, на евклидовой плоскости, можно  рассмотреть две римановы метрики: (евклидова) и (метрика сферы). Существует ли такая регулярная замена координат на плоскости R², при которой евклидова метрика перейдет в метрику сферы? Далее приведем обоснование того факта, что эти две метрики неэквивалентны. Для этого подсчитаем длину окружности в двух метриках. Найдем интересующую нас величину, как функцию от радиуса окружности. Длина в евклидовой метрике известна

     

, где  -радиус  (3.10)

     Сначала найдем соотношение между евклидовой величиной радиуса  и его величиной в сферической метрике

     

  (3.11)

     Найдем  длину окружности в сферической  метрике

     

  (3.12)

       

 
 
 

     Сопоставляя две формулы: «евклидова длина окружности радиуса равна »  и «сферическая длина окружности радиуса равна », видим, что функции длины существенно различны; в частности, одна линейная, а другая периодическая. Откуда вытекает, что эти метрики неэквивалентны.  

 

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере.

       Одной из важнейших астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере.

       Многие важные открытия как в прошлом, так и сегодня были бы невозможными без упорного, тяжелого и часто незаметного труда ученых, посвятивших свою жизнь определению небесных координат светил.  
      В самом деле, например, квазары [5] были обнаружены сначала как источники радиоизлучения. Природа квазаров как удивительных внегалактических объектов была раскрыта лишь в итоге больших усилий по их отождествлению с оптическими объектами. Для этого потребовалось как можно точнее определить их координаты….

      Без результатов 20-летнего труда Тихо Браге, этого искусного измерителя координат планет, Иоганн Кеплер не смог бы открыть законы движения планет вокруг Солнца. Точные определения положения светил на небесной сфере позволили установить, в частности, место малых планет и комет в Солнечной системе, открыть Нептун и Плутон, проверить одно из важнейших следствий общей теории относительности об искривлении траектории луча света, движущегося вблизи гравитирующей массы, и многое другое.  
       Методы определения координат небесных светил (их видимых положений на небе) разрабатывались на протяжении свыше двух тысячелетий. Сегодня они составляют один из важнейших разделов астрономии, который называется астрометрией.

      Измерение видимого положения  светил на небе производится  в определенной системе координат. В астрономии речь идет об измерении угловых расстояний светил от некоторых условных, но общепринятых точек и плоскостей. Можно сказать, что о многообразии систем координат "позаботилась" сама природа.

     Так, в своей повседневной практике мы совершенно естественно выделяем направление действия силы притяжения Земли - направление "верх - низ", контролируемое отвесной линией, и перпендикулярную к этому направлению плоскость горизонта.

     Далее, Земля вращается вокруг  своей оси. Хотя этого мы непосредственно не ощущаем, однако отображением данного движения является вращение небесного свода, ритмичный восход и заход светил. Главным направлением здесь является "ось мира", вокруг которой и вращается небесная сфера. И, наконец, на протяжении года Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Это движение обусловливает смену времен года. Оно обнаруживается в видимом годичном перемещении Солнца среди звезд.

    Отмеченные явления и позволяют  ввести три различные системы  координат - горизонтальную, экваториальную и эклиптическую. Выбор той или другой из них зависит обычно от характера задачи, стоящей перед исследователем.

     Для того чтобы разговор о  координатах небесных светил  был более конкретным, здесь прежде  всего уместно вспомнить основные точки и линии небесной сферы.

       Небесной сферой мы называем вспомогательную воображаемую сферу произвольного радиуса, центр которой может быть расположен в любой точке пространства. На поверхность этой сферы наносятся положения светил так, как они видны на небе в определенный момент времени из данной точки пространства (с поверхности Земли или из кабины космического корабля).

     Определение положения светила  на небесной сфере сводится  к измерению длин дуг. Поэтому  для измерения дуг и соответствующих им центральных углов используются три единицы:

1) радиан - центральный угол, соответствующий  дуге длиной в один радиус; в радиане содержится 57^o17'45";

2) градус (^o) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/360 часть окружности; градус делится на 60 минут ('), минута - на 60 секунд (");

3) час  (^h) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/24 часть окружности; час делится на 60 минут (^m) , минута - на 60 секунд (^s ); один час равен 15^o, минута в часовой мере равна 15 дуговым минутам (1^m = 15'), а 1^s = 15".

      Далее необходимо также вспомнить,  что всякое сечение сферы плоскостью  есть круг. При этом круг, секущая  плоскость которого проходит  через центр сферы, называется  большим кругом, в противном случае - малым кругом.

        Итак, точки пересечения небесной сферы с отвесной линией, проходящей через ее центр, называются: верхняя - зенит и нижняя - надир. Большой круг небесной сферы, плоскость которого перпендикулярна к отвесной линии, называется математическим горизонтом (или просто горизонтом). Любая плоскость, проходящая через зенит и центр сферы, образует при пересечении с ней большой круг, именуемый вертикалом.

        Суточное вращение Земли вокруг  своей оси естественным образом  выделяет направление оси мира, вокруг которой вращается небесная сфера. Точки пересечения оси мира с небесной сферой называются полюсами мира. Тот полюс, относительно которого вращение небесной сферы происходит против часовой стрелки (для наблюдателя, находящегося в центре небесной сферы), называется северным полюсом мира, противоположный - южным полюсом мира.

      Направление на полюс мира  из места наблюдения и из  центр Земли параллельны вследствие  того, что размеры Земли ничтожны  по сравнению с расстояниями  до звезд. Поэтому в любом  пункте Земли высота полюса  над горизонтом h^p равна широте места φ.

      Большой круг небесной сферы,  плоскость которого перпендикулярна  к оси мира, называется небесным  экватором. Небесный экватор делит  поверхность небесной сферы на  два полушария: северное (с северным  полюсом мира) и южное (с южным полюсом мира). Он пересекается с горизонтом в двух точках: в точке востока и в точке запада. Вертикал, проходящий через эти точки, называется первым вертикалом.

      Малый круг небесной сферы,  плоскость которого параллельна  плоскости небесного экватора, называется небесной или суточной параллелью светила. По суточным параллелям совершаются видимые суточные движения светил.

       Большой круг небесной сферы,  плоскость которого проходит  через полюсы мира и через  зенит наблюдателя, называется  небесным меридианом. Небесный меридиан делит поверхность небесной сферы на два полушария: восточное, с точкой востока, и западное, с точкой запада. Плоскость небесного меридиана пересекается с плоскостью математического горизонта по прямой линии, которая называется полуденной линией. Она пересекается с горизонтом в двух точках: в точке севера и в точке юга. Точкой севера называется та, которая ближе к северному полюсу мира, точка юга ближе к южному полюсу мира.

      Большой круг небесной сферы,  проходящий через полюсы мира и через светило М, называется часовым кругом или кругом склонения светила.  
     Покончив со строгими формулировками, заметим, что запомнить все сказанное здесь не так уж трудно. Местонахождение точки зенита определяется сразу: эта точка находится у каждого из нас над головой. Точка северного полюса на начало 1986 года находилась на расстоянии 47,6' от звезды α Малой Медведицы и в настоящее время приближается к ней со скоростью 17" в год. Констатировав это, нетрудно уже мысленно провести основные плоскости и круги на небесной сфере.

      К сказанному выше нам осталось  напомнить, что видимое годичное  движение Солнца происходит по  большому кругу небесной сферы,  который называется эклиптикой. Плоскость эклиптики наклонена  к плоскости небесного экватора под углом s, который для середины 1986 года равен 23^o26'27,8". Точки пересечения эклиптики с небесным экватором называются точками весеннего и осеннего равноденствий. Через точку весеннего равноденствия Солнце переходит из южного полушария небесной сферы в северное около 21 марта. Точки эклиптики, отстоящие на 90^o от равноденственных, называются точками солнцестояний.