Понятие о сферической геометрии

Содержание.

Введение 2

Глава 1. Общие  понятия сферической геометрии 3

Глава 2. Сферическая  геометрия на Eⁿ⁺¹. 

      2.1. Элементы сферической геометрии. 8

      2.2. Сферическая тригонометрия. 11

      2.3 Группа изометрии. 14

Глава 3. Геометрия  на сфере с точки зрения дифференциальной 16

геометрии.

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере 23 

Заключение. 27

Список литературы. 28  
Введение.

    Огромное впечатление, произведенное на умы математиков открытием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что еще задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т. е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твердое убеждение всех ученых в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Римана, впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классической геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского.

    По аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется только два типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой ее точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.

     Геометрия на сфере имеет сходства с геометрией на плоскости. Поэтому теоремы и аксиомы плоскости аналогичны теоремам и аксиомам сферы.

 

  Глава 1. Общие понятия сферической геометрии. 

  Сферическая  геометрия – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении  некоторую окружность; если секущая              плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается  большая окружность. Через каждые две точки А и В на сфере, кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести  единственную большую окружность. Большая окружность сферы являются ее геодезическими линиями и поэтому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Роль окружностей в сферической геометрии играют так называемые малые окружности, т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр.

Ясно, что любую окружность можно  в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки Q на постоянное расстояние ρ; точка Q называется при этом полюсом окружности, а расстояние ρ - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса Q₁, Q₂ (рис 2)(являющихся диаметрально противоположными точками сферы, и соответственно этому два радиуса ρ₁,ρ_2.                                                                                                                                                                                                                  Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны πr/2), то - большую окружность.

Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости  еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис.3),                                                                                                                                                                                        переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

     Под расстоянием между двумя точками  на сфере понимается длина меньшей  из двух дуг большой окружности, соединяющей эти точки, то есть дугу АmВ(рис.1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Это определение следует видоизменить лишь для случая диаметрально противоположных точек A и A₁ сферы; для них существует бесконечно много соединяющих их дуг больших окружностей, и все они имеют одну и ту же длину πr (где r - радиус сферы), которую и принимаем за расстояние между A и A₁.

       При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис.4). Сферический двуугольник – это фигура новая, раннее не встречающаяся. Она определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле   

                                 ,                                      (1.1)

       рис 4.            где R – радиус сферы, А – угол двуугольника, выраженный в радианах.

 Роль треугольников  и многоугольников в сферической  геометрии играют сферические  треугольники и многоугольники, образованные дугами больших окружностей (Рис. 5). 

          Рис 5

      Три больших  окружности, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис.6); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому  обычно рассматривают соотношения  между   элементами   лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называются эйлеровыми треугольниками).  

         Стороны  a, b, c     сферического   треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис.7), углы А, В, С треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства     сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их  соответствующие   углы   (на   сфере   не существует подобных треугольников).

 Равными   треугольниками   считаются   те, которые могут быть совмещены после передвижения по  сфере. Равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники АС’С и ВСС’ на рис.8.                                                                                       

Во  всяком   сферическом   треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2π. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3π  и больше π. Разность

                                                   ,                                        (1.2)

где S – сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется    по формуле

                                                    ,                                         (1.3)

где R – радиус сферы.

Заметим также  следующее, что расстояние OM от начала координат O до произвольной точки M с координатами x, y, z определяется соотношением

OM² = x² + y² + z².     (1.5)

В самом деле, обозначив через N основание перпендикуляра, опущенного из точки M на горизонтальную плоскость, получим, в силу теоремы Пифагора, OM² = OP² + z², а OP² = x² + y², откуда и следует, что OM² = x² + y² + z². Если радиус нашей сферы равен r, то, в силу соотношения (1.5), координаты всех точек сферы удовлетворяют условию

x² + y² + z² = r².     (1.6)

Расстояние  M₁M₂ между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) пространства определяется по общей формуле

     (1.7)

(частным случаем  которой является формула (1.5)), а угол φ между двумя отрезками OM₁ и OM₂, исходящими из точки O, - по формуле

     (1.8)     

Расстояние же ω между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соответствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу φ между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r сферы; поэтому, согласно соотношениям (1.6) и (1.8), это расстояние вычисляется по формуле

     (1.9)

           

Глава 2. Сферическая геометрия на Eⁿ⁺¹.

2.1 Элементы Сферической  геометрии.

      Eⁿ⁺¹- n-мерное евклидово пространство, с ортонормированным репером {0, e₁, e₂, .., e_n+1}. Гиперсферой пространства Eⁿ⁺¹ называется геометрическое место точек этого пространства, отстоящие от данной точки, называемой центром, на одно и то же расстояние, называемым радиусом.

      Очевидно, что гиперсфера с центром в  точке М₀(x₀¹, x₀², .., x₀ⁿ⁺¹) радиуса R, удовлетворяет уравнению:

(x¹- x₀¹,x²- x₀², .., xⁿ⁺¹- x₀ⁿ⁺¹)=R²  (2.1.1)

В частности, когда М₀=0:

(x¹)²+(x²)²+ ..+(xⁿ⁺¹)²=R²   (2.1.2)

      Сфера, задаваемая (2.1.2), представляет собой  поверхность уровня гладкой функции  F(x¹, x², .., xⁿ⁺¹)= (x¹)²+(x²)²+ ..+(xⁿ⁺¹)²-R². Откуда следует, что Sⁿ является гладкой гиперповерхностью в Eⁿ⁺¹.

      Среди всех кривых на гиперсфере особую роль играют гиодезические кривые.Теперь докажем следующий факт:

Большие окружности сферы  являются ее гиодезическими линиями. Для этого определим неравенство треугольника         (2.1.3)    на сфере

 

И как известно, кривая =AB:                                   (2.1.3)    

      

И выражая из (2.1.3) t через cos, получим:

Взяв  cos от левой и правой части последнего соотношения, получим:

Здесь - скалярное произведение векторов a, b.

Таким образом  или

Взяв  cos и приведя, получим:

Возведем  в квадрат и приведем подобные, после этого получим определитель Грамма

То есть неравенство треугольника выполняется

      Теперь перейдем к геодезической  линии:  Из того что произвольную кривую можно отождествить с некоторой ломаной, например, M₀M₁….M_n получаем: M₀M₁+M₁M₂ M₀M₂

                  M₀M₂+M₂M₃ M₀M₃