Понятие о сферической геометрии

                  …….

                  M₀M_n-1+M_n-1M_n M₀M_n

Таким образом показали, что большие  окружности на сфере являются геодезическими линиями. 

      Большими m-сферами гиперсферы Sⁿ называются ее сечения (m+1)-плоскостями, проходящими через ее центр.

      Из  того, что большие окружности сфер являются геодезическими линиями этих сфер, следует, что прямые линии пространства Sⁿ являются геодезическими линиями этого пространства, откуда вытекает, что m-плоскости пространства Sⁿ являются вполне геодезическими m-поверхностями этого пространства (т.е. такими m-поверхностями, всякая геодезическая линия которых является геодезической линией пространства).

 

2.2 Сферическая тригонометрия.

      Сферическим треугольником гиперсферы Sⁿ называется фигура, состоящая из трех точек этой гиперсферы и трех отрезков, попарно соеденяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.

      Через точки сферического треугольника и  центр Sⁿ можно провести единственную 3-плоскость, пересекающую Sⁿ по большой S². Поскольку S²< Sⁿ представляет собой геодезическую поверхность, то получаем, что данный сферический треугольник целиком расположен на ней. Поэтому, при рассмотрении сферического треугольника на Sⁿ можно всегда считать его расположенным на S².

Пусть ABC – cферический треугольник на S², - радиус векторы вершин. Обозначим дуги , соответственно через с, b, а.

Углом между дугами понимают угол между  их касательными векторами. Обозначим  - угол между дугами и , - угол между и , - между

Теорема косинусов:

  (2.2.1)

Доказательство:

Угол  очевидно равен углу между плоскостями (ОАB) и (OAC), который в свою очередь равен углу между их векторами нормали [ , ] и [ , ]. Следовательно

= =  

По определению  , , ,

      ,

То есть

 Пусть ABC – сферический треугольник на S². Для большой окружности проходящей через точки B и C, обозначим через точку A’ один из полюсов этой окружности, который расположен ближе к точке A. Также вводим точки B’и C’.

 

 

     Сферический треугольник A’B’C’ называется полярным к сферическому треугольнику ABC. Обозначим A’B’C’=(ABC)’, , , - радиус векторы точек A’, B’, C’ соответственно, которые характеризуются следующими условиями:

( , )=( , )=0 и ( , )>0

( )=( )=0  и ( )>0  (2.2.2)

( )=( )=0 и ( )>0 

     Ясно, что полярный к полярному треугольнику совпадает с исходным треугольником.

Докажем следующую теорему:

Стороны a’,b’,c’ полярного треугольника A’B’C’ связаны с углами , , треугольника ABC следующим образом:

; ;   (2.2.3)

Пусть векторы  , , образуют правый базис. Тогда

, ,

То есть 

Аналогично  ;

     Теперь  сформулируем и докажем двойственную теорему косинусов: 

                                                      (2.2.4)

Запишем для полярного треугольника A’B’C’ теорему косинусов

С учетом формул (2.2.3), получим (2.2.4).

Теорема синусов

                                                                            (2.2.5) 
 
 

 

2.3 Группа изометрии.

      Sⁿ – гиперсфера в Eⁿ⁺¹, заданные уравнением:

Расстояние  между точками X и Y гиперсферы  Sⁿ представляет собой длину из меньших дуг большой окружности, соединяющей эти точки.

Обозначим через  -неориентированный угол между векторами и . Тогда =R            (2.3.1)

Отсюда

Обозначим через d(x,y) – расстояние между точками X и Y в евклидовом смысле. Тогда из треугольника OXY . Отсюда

  (2.3.2)

      Теперь  приступим к нахождению группы изометрии  гиперсферы Sⁿ. Под изометрией сферы Sⁿ понимается преобразование сферы, сохраняя расстояние между любыми двумя точками. В связи с чем, докажем следующую теорему:

Группа  изометрии Is(S²) сферы S² изоморфна группе вращений евклидового пространства E³.

( ) На S² зададим:

      

Имеем 2 репера R{O, A, B, C} – старый репер

                    R’{O,A’,B’,C’} – новый репер

В силу основной теоремы о движении в пространстве существует единственное движение f пространства такое, что f:R R’, при котором

М(x,y,z)_R M’(x,y,z)_R’.

Покажем, что g(M)=f(M)

Пусть g(M)=M’ и f(M)=M”. Имеем   также

                                      также

                                      также 

Имеем и следующее равенство OM’=OM”.

Пусть M’=(x’,y’,z’) и M”=(x”,y”,z”). Тогда

Последовательно 1-2, 2-3,3-4, получим:

Другими словами, показали, что g(M)=f(M). А это означает, что группа изометрии Is(S²) сферы S² индуцирует группу вращений евклидового пространства E³ .

( ) Пусть f – вращение пространства с инвариантной точкой О, то есть f:E³ E³.

Покажем, что сужение f: S² S².

Точка М S² и f(M)=M’. Тогда [OM] [OM’], где OM=OM’=R, то есть М’ S².

Пусть A, B S². Тогда f(A)=A’

                          f(B)=B’

Длины дуг  равны, так как равны вектора и в евклидовом смысле.

Таким образом, группа вращений евклидового пространства E³ индуцирует   группу изометрии Is(S²) сферы S².           

 

  Глава 3. Сферическая геометрия с точки зрения дифференциальной геометрии.

         Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис.9) некоторый большой круг  QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР’ сферы, перпендикулярного     к     плоскости     экватора,     с

                    Рис 9.             поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов  РАР’ , выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые ее круги, параллельные экватору, - параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол θ= РОМ – полярное расстояние, в качестве второй – угол ϕ= AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М, - долгота, отсчитывается против часовой стрелки. Таким образом связь с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:

                    (3.1)

То, следовательно, радиус вектор точки на сфере представляется в виде 

    (3.2)

 Теперь вычислим 1 и 2 квадратичную формы, полную и средние кривизны:

1)Найдем 

                   
Как известно 1 квадратичная форма вычисляется по формуле:

Таким образом, подставив в формулу  получим:

  (3.3)

2)Имеем 

               

Найдем 

         

         

        

Так же известна формула вычисления 2 квадратичной формы:

То есть, получаем следующее:

  (3.4)

3)Полная  кривизна равна:

  (3.5)

4)Средняя кривизна:

  (3.6)

Из этих вычислений, можно сделать некоторые  выводы:

• cos угла между координатными линиями сферы

     ( -линии: и -линии: ), который, вычисляется:

Откуда следует, что  =90⁰, то есть координатные линии сферы       образуют ортогональную сеть.

• Заметим, что 2 квадратичная форма пропорциональна 1 квадратичной форме.
• И как видно из (3.5) сфера имеет постоянную кривизну

 Теперь покажем и с точки зрения дифференциальной геометрии, что большие окружности являются геодезическими линиями сферы. По определению, кривая на поверхности называется геодезической, если ее геодезическая кривизна тождественно равна 0. Покажем это:

  (3.7)

Откуда и следует, что большие окружности радиуса  r являются геодезическими линиями сферы радиуса R(R=r).

      Подставляя (3.1) в выражение для квадрата дифференциала  длины дуги в трехмерном пространстве

Мы получим (3.2)