Основные понятия математического анализа

     Решение. Имеем

 

8. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

     Производная от производной некоторой функции  называется производной второго порядка (или второй производной). Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются так:

y^ʺ, y^"', y^(4), y⁽⁵⁾,…, y⁽ⁿ⁾,…,

или

f^"(x), f^"'(x), f⁽⁴⁾(x), f⁽⁵⁾(x),…, f⁽ⁿ⁾(x),… .

     Производная n-го порядка есть производная от производной (n – 1)-го порядка, т.е. y⁽ⁿ⁾ = (y^{(n – 1)})'.

9.ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

     Будем говорить, что функция ƒ(x) не убывает (не возрастает)  
на множестве X, если для любых x₁ и x₂, принадлежащих X, удовлетворяющих условию x₁ < x₂, справедливо неравенство ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂) (ƒ(x₁) ≥ ƒ(x₂)).

     Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим названием монотонные функции.

     Если  для любых x₁ и x₂, принадлежащих X, удовлетворяющих условию x₁ < x₂, справедливо неравенство ƒ(x₁) < ƒ(x₂) (ƒ(x₁) > ƒ(x₂)), то, как мы уже знаем, функция ƒ(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X. Возрастающие и убывающие функции называются также строго монотонными.

     Следующая теорема устанавливает важный для  решения практических задач признак  возрастания и убывания функции  и указывает  правило для определения промежутков, на которых функция возрастает и убывает.

     Теорема9.1. Если функция ƒ(x) имеет производную в каждой точке на интервале (a, b) и ƒ´(x) ≥ 0 (ƒ´(x) ≤ 0) на (a, b), то функция ƒ(x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

     Замечание. Теорема остается справедливой, если ƒ´(x) > 0 (ƒ´(x) < 0) на (a, b), то ƒ(x) возрастает (убывает) на (a, b).

     Правило. Для определения промежутков возрастания и убывания следует решить неравенства ƒ´(x) > 0 и ƒ´(x) < 0.

10. ОТЫСКАНИЕ ТОЧЕК  
ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

     Определение. Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой  
δ – окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x))  
при x ≠ x₀.

     Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

     Из  определения следует, что понятие  экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство  
f(x) < f(x₀) (f(x)>f(x₀)) не обязано выполняться для всех значений x в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀. Очевидно, функция может иметь несколько локальный максимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

     Теорема 10.1. (необходимые условия локального экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема  
в этой точке, f'(x₀)=0.

     Теорема 10.1 имеет следующий геометрический смысл. Если x₁, x₂  
и x₃ – точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ox.

11. НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ  
И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

     Пусть функция  дифференцируема на интервале . Тогда существует касательная к графику функции в любой точке этого графика , причем касательная не параллельна оси , поскольку ее угловой коэффициент, равный , конечен.

     Определение 1. Будем говорить, что график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на .

     Теорема11.1. Если функция имеет на интервале вторую производную и во всех точках , то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз(вверх).

     Определение 2. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в точке график имеет касательную,  
и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

 

12 СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

     Изучение  заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить  в следующем порядке;

1. Найти область определения функции;
2. Найти точки пересечения графика с осями координат;
3. Найти точки возможных экстремумов;
4. Найти критические точки;
5. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой  
   и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба;
6. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п. 1)-5).

     При этом в начале исследования полезно  проверить, является ли данная функция  четной или нечетной, чтобы при  построении использовать симметрию  графика относительно оси ординат  или начала координат.

13 ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

13.1. Понятие первообразной функции

     Одной из основных задач дифференциального  исчисления является отыскание производной  заданной функции. Разнообразные вопросы  математического анализа, его многочисленные  приложения к геометрии, механике, физике, и технике приводят к решению  обратной задачи: по данным функции  найти такую функцию , производная которой была бы равна , т. е. .

     Восстановление  функции по известной производной  этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

     Определение 1. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке , если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .

     Теорема 13.1 Если - первообразная для функции на некотором промежутке , то любая другая первообразная для на том же промежутке может быть представлена в виде , где  
- произвольная постоянная.

13.2. Неопределенный интеграл

     Определение 2. Если функция - первообразная для функции , то множество функций , где - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом

14. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

14.1.Таблица основных интегралов

     Приведем  таблицу основных интегралов. Часть  формул этой таблицы непосредственно  следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость остальных формул легко проверить  дифференцированием.

14.2. Метод подстановки

     Во  многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного,  
т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом или замены переменной. В его основе лежит следующая теорема.

     Теорема 14.2.1. Пусть функция х = φ(t) определена  
и дифференцируема на некотором промежутке Т  и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция ƒ(х), т.е. на  
Т определена сложная функция ƒ[φ(t). Тогда если на множестве Х функция ƒ(х) имеет первообразную F(х), то справедлива формула

     Формула называется Формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

     Из  формулы следует, что для вычисления интеграла с помощью подстановки х = φ(t) надо в функции f(х) заменить х через φ(t) и положить dx = φ'(t)dt. При этом получаем искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной x необходимо заменить  
t значением t = ψ(х), которое находится из соотношения х = φ(t).

     Если  функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = ψ(x), то следует формула

т.е. формулу  можно применять и в обратном порядке (справа налево). Для этого  в дополнение к условиям теоремы  достаточно потребовать, чтобы функция  х =φ(t) была строго монотонной.

15. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1.Определение определенного интеграла

     Пусть функция y = f(x) определена на отрезка на отрезке [a,b], a<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками

Обозначим это разбиение через t, а точки x₀,x₁,...,x_n будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [x_{i -1},x_i] выберем произвольную точку x_i (x_i-1 ≤x_i≤ x_i). Через x_i обозначим разность x_i-x_i-1, которую будем называть длиной частичного отрезка [x_i-1,x_i].

     Составим  сумму:

     Обозначим через l длину наибольшего частичного отрезка разбиения  
t : l = max{Dx_i}.

      1 ≤ i≤ n

     Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при lÒ0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом: