Министерство  иностранных дел  Российской Федерации

КОЛЛЕДЖ

Кафедра специальных и  общепрофессиональных дисциплин 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

ПО  МАТЕМАТИКЕ

на  тему:

ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: М.А.Чиннова

Группа: 1-1

Дата: 18 ноября 2011 г

Преподаватель: М.Г.Гаршина

Оценка: 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2011 

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

       Определение. Число А называется пределом функции f (x)  
в точке x₀ (или при x ® x₀), если для любого числа e > 0 существует число d > 0 такое, что для всех x, принадлежащих X, x ≠ x₀, удовлетворяющих неравенству êx – x₀ú < d, выполняется неравенство êf (x) - Aú < e.

       Символически  это записывается так: lim f (x) = A.

                                                                                                          x ® x₀

2 ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

     Теорема 2.1. Пусть функция и имеют в точке х₀ пределы  
B и C. Тогда функция имеет в точке х₀ предел, равный B+C, т.е.

     Теорема 2.2. Пусть функция и имеют в точке х₀ пределы  
B и C. Тогда функция имеет в точке х₀ предел, равный . Тогда функция имеет в точке х₀ предел, равный , т.е

     Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак  
предела, т.е.

,

где = С – постоянный множитель.

В самом  деле,

,

так как 

 

     Теорема 2.3. Пусть функции и имеют в точке х₀ пределы  
В и С. Тогда функция (при С ≠0) имеет в точке х₀ предел, равный , т.е.

.

3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

3.1.Определение непрерывности функции

     Пусть на некотором промежутке определена функция и точка  
принадлежит этому промежутку.

     Определение. Функция называется непрерывной в точке  
, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

3.2. Непрерывность элементарных функций

     Все функции, получаемые с помощью конечного  числа арифметических действий над  простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.

     Теорема 3.2.1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции и также непрерывны в этой точке (последняя при ).

 

4 ПРОИЗВОДНАЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ  
И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

4.1.Определение производной

     Пусть на некотором промежутке Х определена функция ¦(х). Возьмем любую точку х₀ из Х и придадим аргументу х в точке х₀ производное приращение х такое, что точка х + х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение

.

     Определение. Производной функции у = ¦(х) в точке х называется предел при х→0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Символически  это записывается так:

или

или, вспоминая, что  х = х - х и х = х + х,

     Из  определения производной видно, что х₀ считается постоянным  
и рассматривается предел отношения

4.2.Геометрический смысл производной

     Пусть функция ¦(х) определена и непрерывна на интервале (а,b). Пусть, далее, точка М на графике функции соответствует некоторому значению аргумента х , а точка Р – значению х + х, где х – приращение аргумента. Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей. Обозначим через  
(Dх) угол между секущей и осью Ох. Очевидно, что этот угол зависит от  
Dх. Касательной S к графику функции ¦(х) в точке М будет называть предельное положение секущей МР при неограниченном приближении точки  
Р по графику к точке М (или, что то же самое, при Dх→0). Следует, что

Так как  при Dх→0 секущая МР переходит в касательную, то

где - угол, который образует касательная с осью Оx. С другой стороны,

Следовательно, ¦¢(х ) = tg . Таким образом, производная функции ¦(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной ( = ) к графику функции ¦(х) в точке М(х ;¦(х )).

4.3.Физический смысл производной

     Предположим, что функция у = ¦(t) описывает закон движения материальный точки М по прямой линии, т.е. у = ¦(t) – путь, пройденный точкой от начала движения за время t.

     Тогда за время t пройден путь у = ¦(t ) ,а за время t - путь у = ¦(t ).  
За промежуток времени t = t - t точка М пройдет отрезок пути  
у = ¦(t ) - ¦(t ) = ¦(t + t) - ¦(t ). Отношение называется средней скоростью движения (u ) за время t, а предел отношения при t→0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени t (u ).

5.ВЫЧИСЛЕНИЕ  ПРОИЗВОДНЫХ

5.1.Правила дифференцирования

     Теорема 5.1.1. Если функции и имеют производные  
в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также имеют производные в точке 
и справедливы следующие формулы:

5.2.Формулы дифференцирования

 

 

6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

     Теорема 6.1. Если функция х = имеет производную в точке t ,  
а функция y= имеет производную в точке х = , то сложная функция  
f [ ] имеет производную в точке t и имеет место следующая формула:

y

= f

6.1.Вычисление производной сложной функции

     В теореме 6.1. рассматривалась сложная функция, где y зависела  
от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правильно дифференцирования остается прежним.

     Так, например, если y = f , где х = ,  а u = , и v = X(t),  
то производную y следует искать по формуле

y

= y х u v .

7. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНЫХ  
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

     Пример. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производную функции