Нестандартные задачи по математике в начальной школе

Отметим основные свойства магических квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Пример 9. В квадрате на рис. 2,а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2,б получается из него прибавлением 17 к каждому числу, его волшебная сумма равна 15 + 3*17 = 66; умножив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 2,в), магическая сумма которого      равна 2*66 = 132.

рис.2

Свойство 3. Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3).

 
рис.3

Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

Построение нечетных магических квадратов. Существует очень много различных методов построения магических квадратов:

индийский метод (рис.4),

рис.4 

сиамский метод,

метод Баше (рис.5)

рис.5

Нужно также сказать о треугольниках с магическим периметром (рис.6).

рис.6

и о магических кругах (рис.7). Но на них мы не будем подробно останавливаться, т.к. суть решения этих задач однотипна.

^рис.7

Задачи в «математическую  копилку учителя».

13. Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.

14.  В квадрате 4x4 расставьте четыре  одинаковых буквы так, чтобы  в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква.

15.  В квадрате 4x4 расставьте 16 букв (четыре буквы а, четыре Ь,  четыре с, четыре d) так, чтобы в каждом горизонтальном   ряду  и   в   каждом вертикальном ряду буква встречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадрат размером 4x4.

16. Переставьте числа в треугольнике, показанном на рис. 6, так, чтобы сумма чисел в каждом треугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каждой трапеции (по 5 ячеек) - 22.

17. Задача Эйнштейна. Девять кругов расположены так, как показано на рис. 8,а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежащих в вершинах каждого из семи изображенных на рисунке треугольников, была одна и та же.

рис.8

Ответ показан на рис. 8,б.

18. Заполните числами кружки  так, чтобы сумма чисел в  каждом ряду была равна 38 (рис.9,а).

 

Ответ показан на рис, 9,6.

 

рис.9

             В последние десятилетия, в связи с возросшей потребностью общества в творческих людях, способных нетрадиционно решать существующие проблемы, постепенно произошли изменения в обучении математики, которые приводят к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Стратегия современного образования стала опираться на реализацию личных планов и предоставление возможностей всем учащимся проявить свой творческий потенциал. Именно благодаря нестандартной задаче это стало возможно, так как возникает потребность в вариативном поиске решения. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Система нестандартных задач по математике в начальной школе

2.1Характеристика  олимпиадных заданий в учебном  процессе

 

Эффективной формой внеклассной работы по математике является олимпиада. В нашем представлении это не единовременное мероприятие в отдельно взятой школе, а целая система соревнований. Укажем ее важнейшие особенности.

1.  Олимпиада должна занимать  значительный промежуток времени, по возможности — целый учебный год.

2.   Олимпиада должна быть  массовой, с тем, чтобы каждый школьник мог принять в ней участие. Причем надо стремиться к обеспечению равных возможностей для всех детей, независимо от того, где они учатся: в городе, районном центре или в малой деревне.

3.  Олимпиада должна носить  многоступенчатый характер -  от масштаба отдельного класса до объединения нескольких территорий (в начальных классах таким объединением может быть несколько районов).

Такое построение олимпиады позволяет  участвовать в ней всем школьникам. При этом выигрывают не только победители, но и участники.

Необходимо провести подготовительные мероприятия и всей олимпиады  в целом, и отдельных ее этапов.

Важно условие эффективности  подготовки — это желание учителей работать совместно с организаторами олимпиады. Нужно разумное сочетание соревнования и мер поощрения как детей, так и учителей. Организационные мероприятия олимпиады должны дополняться инициативой учителя.

Олимпиада в начальный период обучения занимает важное место в развитии детей. Именно в это время происходят первые самостоятельные открытия ребенка. Пусть они даже небольшие и как будто незначительные, но в них - ростки будущего интереса к науке. Реализованные возможности действуют на ребенка развивающе, стимулируют интерес не только к математике, но и к другим наукам.

Олимпиада, фактически, проходит в  течении года. Она проходит в несколько  этапов:

1)   заочный (подготовительный) тур;

2)   школьный тур;

3)   районный тур;

4)   межрайонный тур.

5)   краевой.

5)   меж краевой.

6)   федеральный.

7)   соревнования всероссийского  уровня.

Основным материалом для олимпиад являются задачи.

- Разумеется, задачи не должны  дублировать материал учебника, а во многих случаях они носят нестандартный характер и иногда могут соответствовать принципу опережающего обучения. Главное, чтобы ребенок смог проявить смекалку.

- Эффектны простые задачи, требующие  неожиданного поворота мысли.

- Нужны достаточно интересные задачи.

- Иногда можно предложить практические задания или задачи отвлеченного характера, но очень важно, чтобы они увлекли детей, поставили перед ними вопросы, полезные для дальнейшего умственного развития.

- Целесообразно в задачах прибегать  к образам из окружающего мира, а иногда к сказочным сюжетам. Не надо пренебрегать и игровыми ситуациями.

Задачи, которые используются на олимпиадах являются, в большинстве своем, нестандартными, это связано именно с тем, чтобы увидеть, как ребенок мыслит, ход мысли, может ли решать логически, а не по заученной схеме. Приведенные выше примеры нестандартных задач, также используются на олимпиадах и не только.

Ниже приведены примеры олимпиадных  задач.

Задача 1: В некотором месяце вторников больше чем понедельников и больше чем сред. Какой это мог быть месяц?

Задача 2: За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11 – за победу на областной олимпиаде и 13 – за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды?

Задача 3: В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Задача 4: Число состоит из 36 цифр. Разрешается разбить его на группы из шести цифр и переставить эти группы как-нибудь. Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что эта большая перестановка делится на 49. Задача 5: По кругу сидят 2001 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов?

Задача 6: Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали  + 1 или  – 1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число  + 1.

Таким образом, олимпиада в начальный  период обучения занимает важное место  в развитии детей. Именно в это  время происходят первые самостоятельные открытия ребенка. Пусть они даже небольшие и как будто незначительные, но в них – ростки будущего интереса к науке. Реализованные возможности действуют на ребенка развивающее, стимулируют интерес не только к математике, но и к другим наукам. В приложении представлены разработки олимпиадных заданий для всех классов начальной школы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Данные, которые были обработаны в  ходе поиска литературы, позволяют  говорить о недостаточной освещенности в литературе проблемы обучения младших школьников нестандартным олимпиадным задачам. В работе были изложены только некоторые примеры задач, которые могут использоваться, и используются в ходе проведения олимпиад. Также были прописаны некоторые особенности проведения олимпиад и принципы, которых необходимо придерживаться для лучшего усвоения учениками материала. Исходя из описанных принципов, учитель сам строит методику обучения этим задачам. Олимпиадные задачи с каждым годом меняются, усложняются. В этой связи необходимо с каждым годом, если учитель решил обучать младших школьников нестандартным задачам, повышать свой уровень, умение решать эти самые задачи, находить множество способов решения этих задач. Исходя уже из своих знаний, умений, логики, он и строит обучение, подготавливает учеников к таким видам задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Занимательные задачи по математике. — М.: ВЛАДОС, 1999.
2. Герасимова Н. А., Новгородова Е. С.Занимательная математика. — М.: Высшая школа, 2003.
3. Кордемский Б. А.Увлечь школьников математикой. — М.: Просвещение, 2001.
4. Лихтарников Л. Н.Занимательные логические задачи. — СПб.: Лань, 1997.
5. Моро, М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах. Пособие для учителя. Изд. 2-е, перераб. и доп. / М.И.Моро, А.М.Пышкало; - М.; «Просвещение», - 1999.
6. Радченко В. П.Способ подбора при решении задач //Начальная школа. — 1998. — No 11—12
7. Столяр А.А. Педагогика математики. - Минск: Высшая школа, 2004.

 

8.  Столяр А.А. Как математика ум в порядок приходит. - Минск: Высшая школа, 1991. Пойа Д. Как решать задачу. - Львов, 1991.

 

9. Тонких А.П. Теоретические основы решения нестандартных и занимательных задач в курсе математики начальных классов./Александр Павлович Тонких // Начальная школа: плюс-минус. – 2002. - №5.

 

10. Труднев В. П. Считай, смекай, отгадывай! — М.: Просвещение, 1998.

 

11. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: - М.: Просвещение, 2006.

 

12. Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: - М.: Просвещение, 1995.

 

13. Царева С. Е.Обучение решению задач // Начальная школа. — 1998. — No 1.58.

 

14. Цукарь А. Я. Задачи повышенной трудности // Начальная школа. — 2007. — No 6.

 

15. www.drofa.ru/books/elementary.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

Олимпиада по математике

1-й класс

1. Карлсон пригласил в гости Малыша, Боссе, Бетан и фрекен Бок. Но у него было только 4 плюшки. Он предложил поделить их так: “Вы все возьмите себе по целой плюшке, а мне дайте каждый по половинке”. Сколько плюшек получил в результате Карлсон? (3 балла)

2. В трех тарелках лежит 9 пряников. Во II на 2 меньше, чем в первой, в III на 1 меньше, чем в первой. Сколько пряников лежит в каждой тарелке? (5 баллов)