Нестандартные задачи по математике в начальной школе

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

Арифметические  способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими  действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

В зависимости  от выбора неизвестного для обозначения  буквой, от хода рассуждений можно  составить различные уравнения  по одной и той же задаче. В  этом случае можно говорить о различных  алгебраических решениях этой задачи.

Но надо отметить, что в начальных классах алгебраический способ не применяется для решения  задач.

Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ  на вопрос задачи. Такой способ решения  называется графическим.

До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в школьной практике.

Графический способ даёт возможность более тесно  установить связь между

арифметическим  и геометрическим материалами, развить  функциональное мышление детей.

Следует отметить, что благодаря применению графического способа в начальной школе  можно сократить сроки, в течение  которых ученик научится решать различные  задачи. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение.

Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети ещё не могут решить арифметическим способом и которую можно предлагать во внеклассной работе.

Решение задач  различными способами – дело непростое, требующая глубоких математических знаний, умения отыскивать наиболее рациональные решения.

 

 

 

Этапы решения  задач

Роль задач  в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно  ввести  проблемную  ситуацию.   Разрешив   систему   специально подобранных  задач,  ученик  знакомится  с  существенными  элементами  новых алгоритмов,   овладевает   новыми  техническими    элементами. Применять математические   знания   в   жизненных   ситуациях   учат   соответствующие практические задачи. Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как  вы знаете, используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить,— это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение  правильное, что оно удовлетворяет  всем требованиям задачи. Для этого  производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме  проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет  решение и притом сколько различных  решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения  и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности  установить, нет ли другого, более  рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап — анализ задачи;

2-й этап — схематическая запись  задачи;

3-й этап — поиск способа  решения задачи;

4-й этап — осуществление решения  задачи;

5-й этап — проверка решения  задачи;

6-й этап — исследование задачи;

7-й этап — формулирование  ответа задачи;

8-й этап — анализ решения  задачи.

Приведенная схема дает лишь общее  представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

Исторически  сложилось,  что  на  ранних  этапах  развития  математики решение задач было целью обучения.  Ученик  должен  был  заучить  образцы  и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались  типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически  разрешимых  задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

      Многообразные ситуации, возникающие  на математическом  и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам.

 

 

 

1.2 Характеристика нестандартные задачи в процессе обучения математике

Наибольшие  затруднения у школьников, как правило, вызывают решения нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизвестен. Задачи этого типа требуют от  ученика  мобилизации  практически  всего набора знаний, умения анализировать условие, строить  математическую  модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически,  одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по целой теме.

Однако одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся, или нет. Так, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для школьников начальных классов - нестандартные, а для старшеклассников - стандартные. Любая задача, взятая изолированно, сама по себе является нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие инварианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и магических фигур, правила построения уникурсальных кривых, признаки делимости чисел, законы математической логики и арифметических операций, правила комбинаторики и т.п.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Это чрезвычайно простое положение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядит так: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроликов». Более строго он формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пусть дано п классов и т предметов. Если т > n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего в рассматриваемых классах было бы не более п предметов, что противоречило бы условию (т > п). Теорема доказана.

Пример 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета?

Решение. Достанем из мешка три шарика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров - это очевидно и противоречит тому,  что  мы  достали три шарика.

С другой стороны, ясно, что двух шариков  может и не хватить.

В этой задаче «кроликами» являются шарики, а «клетками» - цвета: белый и черный.

Ответ: 3 шарика.

Пример 2. Докажите, что в любой компании из 7 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.

Доказательство. Вариантов числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Пример 3. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Доказательство. Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника, поэтому в силу принципа Дирихле равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Теорема 2 (обобщенный принцип Дирихле). Если в n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в каком-то из данных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.

Доказательство  проведем методом от противного. Если бы в каждом классе было не более к + 1 предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, что противоречило бы условию. Теорема доказана.

Пример 4. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п - 3, к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.

Пример 5. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Доказательство. Разобьем данный квадрат на 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.

Теорема 3. Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число, не большее S/n, так и число, не меньшее S/n.

Доказательство следует из обобщенного принципа Дирихле.

Пример 6. Пятеро друзей получили за работу 1 550 рублей. Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.

Решение. Если бы каждый из друзей мог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей. Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них не сможет купить фотоаппарат.

ИНВАРИАНТ. Главная идея применения инварианта заключается в следующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять определенные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некоторую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значения этой величины для двух указанных объектов не равны, то ответ на заданный вопрос отрицателен.

Пример 7. На доске написано 11 чисел - 6 нулей и 5 единиц. Предлагается 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и, если они были одинаковы, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске?

Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, какой она и была вначале. Действительно, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций оставшееся число должно быть нечетным, т.е. равным 1.

Ответ: 1.

В этом примере  инвариант — это четность суммы  написанных чисел.

Главное в решении  задач на инвариант - придумать сам инвариант. Это настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подобных задач. Здесь важно не ограничивать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необходимо сразу определить класс объектов, для которых будет определяться наша величина.

Пример 8. На плоскости расположено 11 шестеренок (рис. 1), соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др.

Магические фигуры. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников математики для начальных классов.

Магические фигуры делятся на плоские и пространственные, так как существуют магические квадраты, треугольники, прямоугольники, многоугольники и круги, а также и магические кубы.

Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магических квадратов. Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на нечетные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные (6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости от расстановки чисел в квадрате - на магические обычные, магические с особыми свойствами и сверхмагические (супермагические). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет. Существует только один магический квадрат 3x3 (остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями), магических квадратов 4x4- 800, 5x5-почти 250 тысяч. Однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.