Игровые модели и принятие решений

      Для первого игрока:

        

      Для второго игрока:

        
 
 

      Чтобы определить значение V, разделим обе части каждого из уравнений на V. Величину p_i/V обозначим через x_i, а q_j/V – через y_j.

       Для игрока 1 получим  следующую систему неравенств, из которой найдём значение 1/v:

      Для игрока 1 необходимо найти максимальную цену игры (V). Следовательно,  значение 1/V должно стремиться к минимуму.

      Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

      min Z = min 1/V = min (x₁ + x₂ + … + x_m)

      Для игрока 2 получим следующую систему  неравенств, из которой найдём значение 1/v:

      

      Для игрока 2 необходимо найти минимальную  цену игры (V). Следовательно,  значение 1/V должно стремиться к максимуму.

      Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

      max Z = max 1/V = max (y₁ + y₂ + … + y_n)

      Все переменные в данных системах линейных неравенств должны быть неотрицательными: x_i = p_i/V, а y_i = q_j/V. Значения p_i  и q_j не могут быть отрицательными, так как являются значениями вероятностей выбора стратегий игроков. Поэтому необходимо, чтобы значение цены игры V не было отрицательным. Цена игры вычисляется на основе коэффициентов выигрышей платёжной матрицы. Поэтому, для того, чтобы гарантировать условие неотрицательности для всех переменных, необходимо, чтобы все коэффициенты матрицы были неотрицательными. Этого можно добиться, прибавив перед началом решения задачи к каждому коэффициенту матрицы число K, соответствующее модулю наименьшего отрицательного коэффициента матрицы. Тогда  в ходе решения задачи будет определена не цена игры, а величина V* = V + K.

      Для решения задач линейного программирования используется симплекс-метод.  [1, 5].

      В результате решения определяются значения целевых функций (для обоих игроков  эти значения совпадают), а также  значения переменных x_i и y_j .

      Величина  V* определяется по формуле: V* = 1/z

      Значения  вероятностей выбора стратегий определяются: для игрока 1: P_i = x_i×V*:  для игрока 2: q_i = y_i×V*.

      Для определения цены игры  V из величины V* необходимо вычесть число K.

      Занятие 5

 

      Пример  решения матричной  игры  со смешанным  расширением

 

      Рассмотрим пример решения матричной игры со смешанным расширением.  Платёжную матрицу игры составим на основе исходных данных задачи, решённой при выполнении занятия 3, заменив лишь значения долей продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношений цен (табл. 2.1). 

      Таблица 2.1.

      Доля  продукции предприятия 1, приобретаемой  населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

 

      Применив  к исходным данным задачи формулу (1) определения разницы прибыли от производства продукции (занятие 3), получим следующую платёжную матрицу (рис. 2.1) 

 

      Рис. 2.1. Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий за рынок продукции региона». 

      В данной матрице (рис. 2.1) нет доминируемых или дублирующих стратегий. Нижняя цена игры равна 0,175, а верхняя цена игры равна 0,24. Нижняя цена игры не равна верхней. Поэтому решения в чистых стратегиях не существует и для каждого из игроков необходимо найти оптимальную смешанную стратегию.

      Решение задачи 

      1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты. Для соблюдения условия неотрицательности в задачах линейного программирования прибавим к каждому коэффициенту матрицы модуль минимального отрицательного коэффициента. В данной задаче к каждому коэффициенту матрицы необходимо прибавить число 1,5 – значение модуля наименьшего отрицательного элемента матрицы. Получим платёжную матрицу, преобразованную для выполнения условия неотрицательности (рис. 2.2)

      Рис. 2.2. Платёжная матрица, преобразованная для выполнения условия неотрицательности 

      2. Опишем задачу линейного программирования  для каждого  игрока в виде системы линейных неравенств:

      Для игрока 1:

      1,67×x1 + 4,5×x2 + 2,25×x3 ³ 1

      2,12×x1 + 0×x2 + 2×x3 ³ 1

      1,74×x1 + 0,7×x2 + 1,675×x3 ³ 1

      x1³ 0; x2³ 0; x3³ 0

      min Z = x1 + x2 + x3

      Для игрока 2:

      1,67×y1 + 2,12×y2 + 1,74×y3 £ 1

      4,5×y1 + 0×y2 + 0,7×y3 £ 1

      2,25×y1 + 2×y2 + 1,675×y3 £ 1

      y1³ 0; y2³ 0; y3³ 0

      max Z = y1 + y2 + y3

      3. Решим обе задачи с использованием  симплекс-метода, применяя программный комплекс "Линейная оптимизация". [5].

      В результате решения задачи получим  следующие значения целевой функции и переменных:

      Z = 0,5771

      V* = 1/0,5771 = 1,7328

      x1 = 0,5144; x2 = 0; x3 = 0,0626

      y1 = 0,0582; y3 = 0,5189

      4. Для определения значений вероятностей выбора стратегий игроков 1 и 2 умножим значения  переменных на V*. P₁ = x1×V* = 0,8914, p₂ =0,  p₃ = x3×V* = 0,1083: q₁ = y1×V* = 0,1008, q₂ = 0, q₃ = y3×V* = 0,8991.

      5. Определим значение цены игры. Для этого из величины V* вычтем 1,5 (значение модуля наименьшего отрицательного элемента).

V = 1,7328 - 1,5  = 0,2328

      Таким образом, в данной игре выиграет предприятие 1 (значение  V > 0). Для достижения своей оптимальной стратегии (получения максимального математического ожидания гарантированного выигрыша) предприятие 1 должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,8914, а технологию 3 – с вероятностью 0,1083. Предприятие 2, соответственно, должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,1008, а технологию 3 – с вероятностью 0,8991. Значение математического ожидания выигрыша предприятия 1 составит 0,2328 тыс. д.е.

 
 
 

      Задание 5.1

 

      Решить  задачу из занятия 3 изменив исходные данные

 
 

      Таблица 2.2

      Затраты на единицу продукции, произведенной  на предприятиях региона (д.е.).