Московская  сельскохозяйственная академия им. К.А. Тимирязева

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 

Кафедра экономической кибернетики 
 
 
 
 
 
 

Игровые модели и принятие решений 
 
 

Методические  указания для студентов экономического факультета 
 
 
 
 

Составитель – К.А. Лапшин 
 
 
 
 
 
 
 

Москва, 2001

 

Введение

 

      Методические  указания предназначены  для изучения основных понятий, определений, принципов  и закономерностей, используемых в  теории игр и теории принятия решений  применительно к экономике сельского хозяйства, а также для приобретения практических навыков постановки и решения прикладных задач в данной предметной области.

      В число задач методических указаний не входит изучение всех проблем, решение  которых связано с применением  теории игр и теории принятия решений. В них отражены только основные аспекты применения данных знаний в экономической практике.

      Изучение  данных методических указаний необходимо для освоения учебных дисциплин: «Игровые модели и принятие решений», «Исследование операций в экономике». Приступая к изучению данного материала, студент должен владеть знаниями по следующим учебным дисциплинам: «Математическая статистика», «Математическое программирование», «Основы экономической теории».

      Студентам рекомендуется выполнить практические задания лабораторных работ самостоятельно, обращаясь к преподавателю только в случае возникновения особо сложных вопросов или сбойных ситуаций в процессе написания и отладки программ. Разрешается выполнение каждой операции любым известным способом, а не только рекомендуемым в методических указаниях. Выполнившим задания до завершения занятия рекомендуется более широко ознакомиться с возможностями постановки и решения прикладных задач в данной предметной области.

      В заключение хотелось бы выразить свою благодарность коллективу кафедры экономической кибернетики Московской сельскохозяйственной академии им. К.А. Тимирязева, особенно – профессору Гатаулину А.М., доценту Лядиной Н.Г., доценту Светлову Н.М. за помощь в работе над данным пособием. 

  Тема 1 Решение матричных игр в чистых стратегиях

 

• Что такое игра
• На основе каких принципов производится классификация игр
• Что такое платёжная матрица
• Как решать матричные игры в чистых стратегиях
• Как уменьшить порядок платёжной матрицы
• Как формулировать и решать матричные игры в чистых стратегиях для экономических задач

      Занятие 1

 

      Понятие об играх и стратегиях

 

      Определение. "Игра (в математике) - это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько игроков влияют на исход игры, причем их интересы различны". [7].

      Регулярное  действие, выполняемое игроком во время игры, называется ходом. Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией.

      Классификация игр

 

      Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д. [2, 7, 8].

      В зависимости от количества игроков различают игры двух и n  игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.

      По  количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.

      По  характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;  коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.

      В кооперативных играх коалиции заранее  определены.

      По  характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

      По  виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.

      Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш  игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

      Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

      Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

      Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

      Если  функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

      Запись  матричной игры в виде платёжной матрицы

 

        В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей [1, 2, 7] (рис. 1.1.),

      Рис. 1.1. Общий вид платёжной матрицы матричной игры 

      где A_i – названия стратегий игрока 1, B_j – названия стратегий игрока 2, a_ij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1. 

      Понятие о нижней и верхней  цене игры. Решение  игры в чистых стратегиях

 

      Каждый  из игроков стремится максимизировать  свой выигрыш с учётом поведения  противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

      V_н =  max_i min_j  a_ij ,

или найти  минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений.  Величина V_н называется максимином матрицы или нижней ценой игры.

      Величина  выигрыша игрока 1 равна, по определению  матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

      V_в = min_j max_i a_ij .

Или найти  максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем  определить минимальное из этих значений. Величина V_в называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.

      В случае, если значения V_н и V_в не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a_ij ) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве V_н = V_в = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V - оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры. [8].

      Например, в матрице (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Платёжная матрица, в которой  существует решение в чистых стратегиях 

существует  решение в чистых стратегиях.  При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.

      В матрице (рис. 1.3)

Рис. 1.3. Платёжная матрица, в которой  не существует решения в чистых стратегиях