где i=3 – номер технологии первого предприятия, а j=2 – номер технологии второго предприятия.

      Аналогично  вычислим все коэффициенты платёжной  матрицы. В платёжной матрице  стратегии A1 – A3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции предприятием 1, стратегии B1 – B3 – решения о технологиях производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей – разницу прибыли предприятия 1 и предприятия 2. 

 

      Рис. 1.6. Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий за рынок продукции региона». 

      В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17, -1,5, 0,4.

      Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3, 0,62, 0,4.

      Нижняя  цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя  цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице  совпадают. Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология  III, которая соответствует стратегиям A3 предприятия 1 и B3 предприятия 2. Стратегии A3 и B3 – чистые оптимальные стратегии в данной задаче.

      Значение  разницы прибыли предприятия 1 и  предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 1.2)..  Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго – 1 д.е (таблица 1.1). Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции, которую приобретёт у него население. 

 

      Задание 3.1

      Два предприятия производят продукцию  и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

      Каждое  из предприятий имеет возможность  производить продукцию с применением одной из пяти различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 10, 8. 6, 4 и 2 денежных единицы соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции. (табл. 1.4). 

      Таблица 1.4

      Затраты на единицу продукции, произведенной  на предприятиях региона (д.е.). 

N –номер варианта, предложенный преподавателем.

      В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

      Y = 8 – 0.3×X,

где Y – количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ед.), а X – средняя цена продукции предприятий, д.е.

      Значения  долей продукции предприятия 1, приобретенной  населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены (табл. 1.5). 

      Таблица 1.5

      Доля  продукции предприятия 1, приобретаемой  населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

 

      1. Существует ли в данной задаче  ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?

      2. Существуют ли технологии, которые  предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

      3. Сколько продукции будет реализовано  в ситуации равновесия? Какое  предприятие окажется в выигрышном положении? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

      Решение задачи необходимо провести с помощью  программы, разработанной при выполнении практической части занятий 1 и 2.

Тема 2 Смешанные стратегии в матричных играх

 

• Что такое матричные игры со смешанным расширением
• Каковы основные правила решения матричных игр со смешанным расширением
• Как решать матричные игры со смешанным расширением для экономических задач

      Занятие 4

 

      Понятие о матричных играх  со смешанным расширением

 

      Исследование  в матричных играх начинается с нахождения её чистой цены. Если матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, то нахождением чистой цены заканчивается исследование игры. Если же в игре нет решения в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

      Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор чистых стратегий, применённых в соответствии с установленным распределением вероятностей. Матричная игра, решаемая с использованием смешанных стратегий, называется игрой со смешанным расширением.

      Стратегии, применённые с вероятностью, отличной от нуля, называются активными стратегиями.

      Доказано [1, 2, 4, 7, 8, 11],  что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:

      V_н  £ V £ V_в .

При этом условии величина V называется ценой игры.

      Кроме того, доказано, что, если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры V, независимо от того, каких стратегий придерживается другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий. Поэтому, для достижения наибольшего гарантированного выигрыша второму игроку также необходимо придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии.

      Решение матричных игр  со смешанным расширением  методами линейного программирования

 

      Решение матричной игры со смешанным расширением – это определение оптимальных смешанных стратегий,  то есть нахождение таких значений вероятностей выбора чистых стратегий для обоих игроков, при которых они достигают наибольшего выигрыша.

      Для матричной игры, платёжная матрица  которой показана на рис. 1.1,  V_н ¹ V_в , определим такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока 1 (p₁, p₂ ,…, p_m) и для игрока 2 (q₁, q₂ ,…, q_n), при которых игроки достигали бы своего максимально гарантированного выигрыша.

      Если  один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то, по условию задачи, его выигрыш не может быть меньше цены игры V. Поэтому данная задача может быть представлена для игроков в виде следующих систем линейных неравенств: