Игровые модели и принятие решений

решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается  в стратегии A1 и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B4 и её значение равно 3.  

      Занятие 2

 

      Уменьшение  порядка платёжной  матрицы

 

      Порядок платёжной матрицы (количество строк  и столбцов) может быть уменьшен за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

      Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение

      A_k* < A_k**,

где A_k* и A_k** - значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.

      В случае, если выполняется соотношение

      A_k* = A_k**,

стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.

      Например, в матрице (рис. 1.4)

Рис. 1.4. Платёжная матрица с доминируемыми  и дублирующими стратегиями 

стратегия A1 является доминируемой по отношению к стратегии A2, стратегия B6 является доминируемой по отношению к стратегиям B3, B4 и B5, а стратегия B5 является дублирующей по отношению к стратегии B4. Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платёжной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.

      Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платёжной матрицы, называется ещё множеством Парето (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето, занимавшегося исследованиями в данной области) [7]. 

      Занятие 3

 

      Пример  решения матричной  игры в чистых стратегиях

 

      Рассмотрим  пример решения матричной игры в  чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий  за рынок продукции региона. 

      Задача

      Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

      Каждое  из предприятий имеет возможность  производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции. (табл. 1.1.). 

      Таблица 1.1

      Затраты на единицу продукции, произведенной  на предприятиях региона (д.е.). 

 

      В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

      Y = 6 – 0.5×X,

где Y – количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ед.), а X – средняя цена продукции предприятий, д.е.

      Данные  о спросе на продукцию в зависимости  от цен реализации приведены в  табл. 1.2.

      Таблица 1.2

      Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.

 

      Значения  Долей продукции предприятия 1, приобретенной  населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены (табл. 1.3.). 

      Таблица 1.3

      Доля  продукции предприятия 1, приобретаемой  населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

 

      По  условию задачи на рынке региона  действует только 2 предприятия. Поэтому долю продукции второго предприятия, приобретённой населением, в зависимости от соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого предприятия.

      Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену реализации единицы продукции. В задаче необходимо определить:

      1. Существует ли в данной задаче  ситуация равновесия при выборе  технологий производства продукции обоими предприятиями?

      2. Существуют ли технологии, которые  предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

      3. Сколько продукции будет реализовано  в ситуации равновесия? Какое  предприятие окажется в выигрышном  положении? 

      Решение задачи 

      1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2  от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1,  а в случае, если она отрицательна – предприятие 2.

      2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей  платёжной матрицы. Для этого  необходимо определить значения  прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

      - от цены и себестоимости продукции;

      - от количества продукции, приобретаемой  населением региона;

      - от доли продукции, приобретённой  населением у предприятия.

      Таким образом, значения разницы прибыли  предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, необходимо определить по формуле (1):

      D = p×(S×R1-S×C1) – (1-p) ×(S×R2-S×C2)                   (1),

где D – значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия 2;

p - доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

S – количество продукции, приобретаемой населением региона;

R1 и R2 - цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и 2;

C1 и C2 – полная себестоимость единицы продукции, произведённой на предприятиях 1 и 2. 

      Вычислим  один из коэффициентов платёжной матрицы.

      Пусть, например,  предприятие 1 принимает  решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 – в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации единицы. продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы. продукции 1,5 д.е. Для предприятия 2 цена реализации единицы. продукции составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е. (табл. 1.1).

      Количество  продукции, которое население региона  приобретёт при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (таблица 1.2). Доля продукции, которую население приобретёт у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 – 0,15 (табл. 1.3). Вычислим коэффициент платёжной матрицы a₃₂  по формуле (1):

      a₃₂ = 0,85×(4×2-4×1,5) – 0,15×(4×6-4×4) = 0,5 тыс. ед.