Греческая математика

      В десятой книге «Начал» Евклида  даётся полная классификация величин, выражаемых формулой

     √√ a ±√ b

и удовлетворяющих  определенным дополнительным условиям. Мы не склоны считать, как утверждает Ван дер Вардер, что Теэтет так  далеко провёл свою классификацию иррациональных величин, как это изложено в десятой  книге «Начал» Евклида. Ведь Теэтет в своей классификации стремится «невыразимое», т.е. то, что не может отобразиться целым числом, сделать «выразимым» опять-таки с помощью целых чисел. И если бы он дошёл, как это имеет дело в десятой книге «Начал» Евклида, до «выразимости» элементов правильных многогранников, которые, по Платону, являются элементами мира, вряд ли Платон прошёл мимо этого факта и уж где-нибудь указал бы на это.

        Может быть, Евдем, как это делали  прежние пифагорейцы по отношению  к Пифагору, приписал Теэтету  не только начало теории иррациональных величин, но и её полную разработку в том виде, в каком это излагается у Евклида. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Пифагорейская  геометрия.

     Имя Пифагора носит известная теорема  о соотношениях между сторонами  прямоугольного треугольника. Задачи на прямоугольные треугольники, где пользуются равенством a²= b² + c ² (a – гипотенуза, b и c- катеты прямоугольного треугольника), решали за много веков до Пифагора древние египтяне, вавилоняне, китайцы и другие древние народы. Таким образом, приписать это открытие Пифагору нельзя. Возможно, что ему принадлежит первое строгое доказательство этой теоремы.

     Как указывалось выше, пифагорейцы решали задачи на преобразование площадей. Им принадлежит, в частности, решение задач на прямоугольное приложение площади, которое рассматривалось в связи с анализом II книги «Начал» Евклида. Фактически эти задачи (их две: на эллиптическое приложение площади и на гиперболическое) представляют собой геометрическое решение вавилонских канонических форм x +y = a; xy = b. Трудно оспаривать влияние вавилонской математики!

     Из  геометрических фигур большое значение пифагорейцы придавали звёздчатому  пятиугольнику,

      который служил у них символом здоровья и знаком принадлежности к обществу. Свидетельства о том, как они  строили, эту фигуру нет. Может быть, они строили её при помощи приложения площадей для случая золотого сечения, так как каждая сторона звёздчатого пятиугольника делит другую его сторону, с которой пересекается, к крайнем и среднем отношении.

     Пифагорейцы знали три правильных многогранника: куб, тетраэдр и додекаэдр. Открытие остальных двух – октаэдра и икосаэдра – приписывают Теэтету.  

     3. Знаменитые задачи древности.

     Несмотря  на бурное  развитие геометрии и  на те блестящи результаты, которых  достигли древние греки в этой науке, оставались геометрические задачи весьма древнего происхождения, с которыми и греческая геометрия не могла  справиться. Это три известные знаменитые задачи древности:

1. Квадратура круга.
2. Удвоение куба.
3. Трисекция угла.

     Каждая  из этих задач имеет свою богатую  и интересную историю. Они волновали  умы всех выдающихся математиков  не только древности. Попытки их решить обогатили математику весьма интересными и важными результатами.

     Постановка  этих же задач, их возникновение вполне естественно. Они являются естественным обобщением задач, решаемых греками  с помощью циркуля и линейки, т.е. прибегая только к понятиям прямой и окружности.

     В самом деле, греки ещё издавна  преобразовывали с помощью циркуля  и линейки любую прямолинейную  фигуру в другую прямолинейную же заданной формы, равновеликую ей. В  частности любая прямолинейная  фигура преобразовывалась в равновеликий квадрат. Поэтому вполне понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу, а именно: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного квадрата.

     Задача  удвоение куба заключается в том, чтобы построить с помощью  циркуля и линейки куб, объём которого был бы в два раза больше объёма данного куба, т.е. по ребру данного куба a построить ребро искомого куба x, удовлетворяющегося уравнению x³ = 2a³.

     Легко понять, что эта задача является обобщением задачи о построении квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Для её решения надо в качестве стороны искомого квадрата взять диагональ данного. Плоская задача успешно была решена с помощью циркуля и линейки ещё в глубокой древности.

     Аналогична  и задача трисекции угла, т.е. деления угла на три равные части, является обобщением задачи, которую древние решали с помощью циркуля и линейки. В самом деле, с помощью прямой и окружности можно любой угол делить пополам. Естественно, могла возникнуть мысль о делении угла на любое число равных частей с помощью этих средств, и в первую очередь, о делении угла на три равные части.

     Остановимся вкратце на попытках решения греками  каждой из этих задач в отдельности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Квадратура  круга.

     Из  наиболее ранних попыток решения задач о квадратуре круга большой интерес представляют исследования Антифона (469 – 399 гг. до н. э.). Антифон трактует окружность как многоугольник с бесчисленным числом сторон. Его рассуждения выглядят примерно так: если вписать в круг квадрат, затем правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и т.д., то придём к многоугольнику, стороны которого настолько малы, что многоугольник окажется совпавшим с кругом. Так как каждый многоугольник можно только с помощью циркуля и линейки преобразовать в равновеликой квадрат, то можно построить квадрат, равновеликий кругу.

     Таким образом Антифон считал задачу о  квадратуре круга решенной.

     Воззрения Антифона на круг и окружность, как  видно, близки к современной трактовке  этих геометрических понятий с помощью передела. Антифону, по существу, оставалось сделать этот последний шаг.

     При решении этой задачи Бризон (V в. До н.э.) наряду с последовательностью вписанных многоугольников рассматривал последовательность описанных многоугольников. Таким образом, у него мы впервые встречаемся с понятием нижней и верхней границы, т.е. методом определения искомой величины приближением сверху и снизу, с идеей, которая впоследствии оказалась весьма плодотворной в математике.

     Замечательные результаты в связи с решением задачи о квадратуре круга получил известный математик древности Гиппократ Хиосский. Он впервые указал на тот факт, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Правда, вряд ли это предложение было им строго доказано,  ибо строгое доказательство древних опирается на метод исчерпывания, который изобрёл Евдокс гораздо позже. Найденное  Гиппократом Хиосским отношение между площадью круга и его диаметром позволяет свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, этого коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов.

     Попытки  Гиппократа Хиосского решить задачи о  квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур, ограниченных пересекающимися окружностями, а именно, гиппократовых луночек. Вот пример такой луночки. На стороне вписанного в круг квадрата, как на диаметре, опишем круг (см. рисунок), получим луночки AmBn.

Обозначим радиус большого круга через R, а радиус малого круга – через r. Выразим r через R:

  .

      Теперь  подсчитаем площадь чётной четверти большого круга AOBm и площадь круга ABn:

 

      Оказалось, что площади этих двух фигур равны. Но эти фигуры имеют часть –  сегмент ABn. Если вычтем эту площадь  из площади каждой фигуры, то оставшиеся площади будут так же равны, так как от равных величин отнимаем равные величины. Таким образом, получается, что площадь луночки AmBn равна площади треугольника AOB. Эта луночка не единственная квадрируемая, которую нашёл Гиппократ.

      Приведём  построение остальных двух случаев  гиппократовых луночек.

      Пусть дана окружность с центром в точке K (см. рисунок), AB – диаметр окружности. 

 Точка C середина KB.CD – перпендикуляр  к KB; из точки B проводится прямая так, что  длина отрезка ZE, расположенного между  точкой пересечения с перпендикуляром  CD Z и точкой пересечения с окружностью E, равняется:

     AK ∙ √ 3\2 = r ∙ √ 3\2

Через точку E проводится прямая параллельно AB. Через точки K и Z проводится отрезок прямой до пересечения  с прямой EF в точке H. Соединяются  точки K с E и B с H. Теперь  на EH, как на диаметре, строится полуокружность EKBH, а через точки E, Z и H также проводится дуга EZH. Сегменты EZ и ZM подобны сегментам EK, KB и BH. Площадь каждого из сегментов на EZ и ZH равна 1.5 площади каждого из сегментов EK, KB и BH. Следовательно, площадь луночки EKBHZ равна площади многоугольника EKBHZ.

      Этот  результат опирается на теорему  о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов.

      Наконец, последний случай гиппократовых  луночек получается следующим построением:

      Пусть дана равнобочная трапеция, боковые стороны и верхнее основание которой равны половине нижнего основания. Опишем около трапеции полуокружность так, что нижнее основание служит диаметром, а на каждой из остальных трёх сторон, как на диаметре, также построим полуокружности. Тогда сумма площадей трёх полученных луночек и малого круга равна площади трапеции.

      Кроме этих трёх видов гиппократовых луночек, были открыты ещё два вида: для  одного отношение квадратов радиусов окружностей равно 5, а для  другого  – 5\3. Советские математики, член-кореспондент АН СССР Н.Г. Чеботарев и А.В. Дороднов, доказали, что этими пятью видами исчерпываются все виды гиппократовых луночек, для которых отношение квадратов радиусов окружностей рационально.

      Казалось  бы что квадратированием луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадратируемые части. Но этого делать нельзя.

      Все попытки решить задачу с помощью  циркуля и линейки не привели  и не могли, как было показано позже, привести к положительному результату.

      Во  второй половине прошлого столетия было доказано, что число π является трансцендентным, следовательно, нельзя построить с помощью циркуля  и линейки отрезок, равный π, а  значит, и решение задачи о квадратуре круга этими средствами также невозможно, так как длина  окружности и площадь круга выражаются через π: C = 2 πR², S = πR².

      К положительным результатам, которые  получили древние математики в связи  с решением задачи о квадратуре круга, следует отнести изобретение Гиппием из Элиды кривой – квадратисты и Архимедом (в третьем столетии до н.э.) – спирали Архимеда, с помощью которых решаются две задачи: о квадратуре круга и трисекции угла. Но сами эти кривые являются трансцендентными и не могут быть  построены с помощью циркуля и линейки, следовательно, использование этих кривых для решения указанных задач является с точки зрения древнегреческих математиков некорректным; такое решение считалось нестрогим. Замечательным открытием в решении задачи о квадратуре круга является определение Архимедом границ числа π.

     Заключение.

      Я считаю, что до меня такой работой  вряд ли кто занимался, и вряд ли будет заниматься, так как она  требует большой усидчивости, терпения и времени. Но не смотря на всё это, я не собираюсь останавливаться на достигнутом, и планирую в дальнейшем расширять свою работу, пополняя её всё новыми и новыми знаниями и  информацией на данную тему, надеясь, что моя работа стоит моих усилий! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература.

Печатные  источники:

1. Раик , А.Е. Очерки по истории математики древности. – Саранск, 1977. -147 – 171 с.
2. Алексеев, И.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ : учебно-методическое пособие. – Саратов: Лицей, 2005. – 112 с.
3. Геометрия: учебник для 7-9 кл. сред. шк.\авт.  Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 4-е издание. – М.: Просвещение, 1994. 335с.: ил.
4. Цыпкин, А.Г. Справочник по математике для средней школы. М.: Просвещение, 1981. 400 с.