Греческая математика

     Рассматривая  числа как сущность вещей и  явлений, пифагорейцы, естественно, основное внимание в своих теоретических  и философских исследованиях  направили на изучение свойств чисел, теорию чисел, теоретическую арифметику. Причём числа понимались не только как количество, но им приписывалась определенная форма.

     В своих теоретических исследованиях  пифагорейцы рассматривали число  как совокупность единиц. Единица  же определяется как – то,из чего составляются числа. Количественная характеристика числа имеет своей основой материальное представление, число есть совокупность монад, совокупность основных элементов подобно тому, как дом составляется из отдельных кирпичей, материя – из атомов. Таким образом, с их точки зрения, единица не является числом, которое можно рассматривать как совокупность других чисел, является число четыре. В самом деле, два нельзя рассматривать как составленное из двух чисел, так как оно составляется только из двух единиц. Аналогично и число три составляется из одной единицы и ещё только одного числа два.

     Основным  свойством чисел пифагорейцы  считали чётность и нечётность. Числа  чётные делятся на две равные части, тем самым они выражают, по их мнению, некоторую неопределенность. В отличии от них числа нечётные делятся на неравные части, и они имеют середину. Например, 7 делится на части 3 и 4, число 4 есть середина числа 7, так как до 4 содержится три единицы и после 4 надо прибавить также ещё три единицы, чтобы получить 7. Числам, нечётным,  приписывается определенность.

     Такие воззрения, очевидно, являются следствием такого факта, что единицы, из которых  состоит число, они представляли себе расположенными в ряд, как кости  нанизываются на нитку или как  камешки раскладываются на доске, которая могла им служить счётным инструментом.

     На  одну из причин, почему пифагорейцы  приписывали нечётным числам определенность, а чётным – неопределенность, указывает  Аристотель в своей «Физике»: «…если накладывать гномоны (фигура в виде буквы Г) вокруг единицы и сделать это далее (отдельно для чисел чётных и нечётных), в одном случае всегда получается один и тот же вид фигуры, а в другом – особый вид фигуры».

     В самом деле, описывая последовательно  вокруг квадрата гномоны, мы каждый раз  получаем новый квадрат. Причём первый гномон состоит из 3 исходных квадратов, второй из 5 и т.д., т.е. сумма последовательных нечётных чисел есть число квадратное.

     Отношение сторон полученной фигуры является постоянным и равным единице.

     Если  же будем описывать последовательно  гномоны около прямоугольника, одна сторона которого вдвое больше второй, т.е. такого, который составлен из двух квадратов, то каждый раз будем получать прямоугольники. Все гномоны содержат чётное число квадратов, а именно, они выражаются следующим образом : 1 :2; 2: 3 и т.д.

     Таким образом, числа нечётные порождают  определенность, а числа чётные –  неопределенность.

     Особое  место у пифагорейцев занимало число 10. Пифагор назвал десятку священной  четверицей,  в себе самой «имеющей источник и корни вечной природы». Из этого числа получили начало все числа. Действительно, одиннадцать, двенадцать и остальные началом своего существования сопричастны десятке. Само же десять составляется из единицы, двух, трёх и четырёх : 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Десять заключает столько чётных чисел, столько и нечётных, столько составных, столько и простых.

     Изучая  структуру чисел, пифагорейцы различали  числа квадратные, прямоугольные, треугольные, телесные, пирамидальные, подобные, совершенные, дружественные и др.

     Квадратными пифагорейцы называли такие числа, которые могут быть представлены как произведение двух одинаковых сомножителей, например:

4= 2 × 2 и др. таким будет число κ = 1 + 3 + 5 +…+(2n -1) = n².

      Плоскими  прямоугольными числами они называли такие числа, которые могут быть представлены в виде произведения двух неравных сомножителей. таким будет число κ = 2 + 4 + 6 + 2n = n (n + 1).

      Треугольными  называются числа, представляющих сумму  натуральных чисел от 1 до n. Так, например, 6 = 1 + 2 + 3 и т.д.

      Если  возьмём число шариков или  камешков, равных числу единиц такого числа, то их можно расположить так, чтобы полученная фигура будет иметь вид, указанный на рисунке.

      Здесь, как нетрудно понять, источником классификации  чисел являются форма геометрических фигур и тел и представление  о числе, как о совокупности единиц.

      Совершенными  называются числа, которые равны  по сумме всех своих делителей, кроме  самого числа.

      Человек на каждом шагу сталкивается не только с целыми натуральными числами, но и  с дробными, причём как в практической деятельности, так и в теоретических исследованиях.

      Теория  музыки, гармония, принадлежит к  одной из основных пифагорейских  наук. И, как показал Ван дер  Вардер,  пифагорейская теория музыки достигла высокого уровня развития. А  в теории музыки и приходится оперировать с дробями. Таким образом, может быть, именно в связи с пифагорейской теорией музыки перед пифагорейцами встала проблема создания эквивалента понятия дроби и теории дробей, сохранив при этом прежнее понятие числа. Таким эквивалентом явилось отношение целых чисел и пифагорейская теория отношений.

      Основные  теоретико-числовые предложения арифметических книг «Начал» Евклида – теория числовых пропорций, учение о делимости  чисел, средние – составляли, конечно, основное содержание пифагорейской  арифметики. Об этом свидетельствует «Деление Канона» Евклида и другие источники из пифагорейского учения о музыке. Однако вопрос о том, были ли пифагорейцам известны и доказательства всех этих предложений, является вопрос вовсе не очевидным. Дело в том, что некоторыми предложениями из теории чисел, принадлежащими, безусловно, пифагорейцам, последние могли пользоваться без доказательства в силу того, что они выражают очевидные факты.

      Учение  о средних является древнейшим в  математике греков. Ещё Гиппократ  Хиоский (V век до нашей эры) решил эту задачу об удвоении куба при помощи построения двух геометрических средних к двум данным отрезкам.

      Это учение, естественно, связано с теорией  пропорций и с прогрессиями. Арифметическая и геометрическая прогрессия появились, как известно, ещё на заре развития математических наук. Изучение хода решения задач на прогрессии показывает, по крайней мере, в отношении арифметической прогрессии, что египтяне и вавилоняне хорошо представляли себе соотношение между соседними членами прогрессии.

      Нетрудно, конечно, было обнаружить, что из трёх последовательных членов арифметической прогрессии средний член равен полусуме двух других, предыдущего и последующего за ним. Этот факт можно было обнаружить как при решении арифметических числовых задач, так и в геометрии, например, средняя линия трапеции равна полусуме оснований. Надо заметить, что египтяне и вавилоняне широко пользовались средними арифметическими.

      Итак, средняя арифметическая могла появиться  в связи с задачами на арифметическую прогрессию.

      Естественно полагать, что средняя геометрическая имеет своим источником геометрическую прогрессию. Действительно, из трёх последовательных членов геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению предыдущего и последующего за ним члена. Что касается названия «геометрической» средней, то оно, очевидно, связано с преобразованием площадей.

     Преобразование  площадей прямолинейных фигур, тоже следует отнести к наиболее раннему  периоду греческой математики. При  преобразовании данного прямоугольника в равновеликий квадрат длина стороны квадрата оказывается между длинами сторон данного прямоугольника. Отсюда, возможно, происходит и само название «средняя». Может быть, попытки найти числовые соотношения, которые связывают эти три отрезка, показали, что их длины составляют три последовательных члена геометрической прогрессии «лестницы во сколько».

     Если  средняя арифметическая двух рациональных целых чисел есть всегда число  рациональное, то совсем другая картина  получается со средней геометрической. Не для любой пары рациональных чисел существует такое рациональное число, которое представляло бы среднюю геометрическую двух данных чисел. А между тем для любой пары отрезков всегда можно построить третий отрезок, который являлся бы средним геометрическим отрезок к двум данным, ибо задача о преобразовании любого прямоугольника в равновеликий квадрат всегда разрешима построением с помощью циркуля и линейки. Отсюда, может быть, эта средняя получила название геометрической, о соответствующая прогрессия – тоже геометрической.

     Построение  средних геометрических было средством  извлечения квадратных и кубических корней у древних греков. Фактически извлечение квадратного корня сводилось  к построению одной средней геометрической к двум данным величинам.

     Извлечение кубического корня сводилось к построению двух средних геометрических к двум данным величинам.

     Средняя геометрическая, как это следует  из самого названия, обязана своим  происхождением пифагорейской теории музыки. 
 
 

     1.3. Открытие иррациональности

     Величайшим открытием в математике, которым мы обязаны пифагорейцам, является открытие несоизмеримости величин, открытие иррациональности. Это открытие явилось рубежом в истории развития математики, поворотным пунктом, оно обусловило новое направление, иное содержание и форму античной греческой математики. Это открытие имело огромное философское и методологическое значение для всей дальнейшей греческой математики.

     При этом замечательно то, что иррациональность была обнаружена в такой фигуре, которую пифагорейцы считали наиболее совершенной, - в квадрате, сторона которого равна единице: диагональ в силу теоремы Пифагора равна корню квадратному из двух. Оказалось, что не всё есть число. Число 2, будучи квадратом, не имело «стороны», т.е. сторону этого квадрата нельзя выразить никаким «числом», не существует такого отношения целых чисел, которое можно было бы приписать этой стороне. Открытие иррациональности разрушило «числовую гармонию мира».

     Таким образом, обнаружилось, что всякое число  может быть представлено величиной геометрической. Пифагорейская математика переживала великое потрясение, разрушался её фундамент, её логические основы.

     Казалось  бы, что естественным выходом из такого положения, в котором оказалась  пифагорейская математика, было бы дальнейшее развитие понятия числа. Но греки по этому пути не пошли, они отвергали его. На вопрос о том, почему греки не построили иррациональные числа, Бош отвечает, что греки в них не нуждались. Но дело не только в том. Вернее было бы сказать, что греки обошлись без иррациональных чисел, нашли обходный путь. И понятно почему. На пути построения иррациональных чисел греческие математики встретились с непреодолимым для них препятствием. Понятие несоизмеримости, иррациональности связано с понятием бесконечности и непрерывности. Для того чтобы избрать путь развития математики через расширения понятия числа, надо было прежде всего справиться с противоречиями, которые заключены в понятиях бесконечности и непрерывности. Греки прекрасно понимали эти трудности. Об этом говорят многие свидетельства, и, в первую очередь, известны парадоксы Зеноса.

     И на выручку, как говорит Цейтен, выступила  геометрия. «Это затруднение пифагорейцы, а за ними греческие математики, преодолели путём геометрического представления величин вообще», - пишет Цейтен.

     Но  это привело к отделению геометрии  от арифметики, т.е. науки о числе. Величина протяжения и число оказались, по представлению греческих математиков, величинами разнородными, а так как  одним из основных логических требований было не смешивать разнородных понятий, то математика у древних греков распадалась на две замкнутые, строго разделимые области. Понятно, что для греков величина протяжения являлась более обширным понятием, нежели отвлеченная числовая величина; отсюда – стремление трактовать вопросы в такой форме, чтобы свести их на геометрические задачи, решающиеся, конечно, построением. В силу господствовавшего тогда пренебрежительного отношения к практической деятельности на всё то, что связано с вычислениями греческими математиками обрабатывалось; это представляло предмет более «низкой» науки – логистики, которой занимались техники, инженеры и другие «практики».

     Итак, одним из важнейших результатов  открытия иррациональности было быстрое  развитие и завершение геометрии, как  законченной дедуктивной системы, как она представляется нам в «Началах» Евклида. И вместе с тем вся математика стала излагаться в геометрической форме. Только геометрическое изложение и построение признавалось официальной наукой, считалось незыблемым и строгим. Причём весьма существенным является тот факт, что геометрическое построение понималось как построение с помощью прямых и окружностей, самых совершенных геометрических образов. Таким образом, можно сказать, что древнегреческая математика представляла собой теорию построения с помощью циркуля и линейки.