Греческая математика

     Открытие  иррациональности предполагает высокий  уровень развития математики. В самом  деле, каким бы точным измерительным  инструментом мы не пользовались, нельзя при помощи измерения ответить на вопрос: соизмеримы ли два отрезка  или несоизмеримы.

     Трудно  строго очертить круг теорем и предложений, которые были доказаны пифагорейцами. Однако не вызывает никаких сомнений то предложение, что именно в пифагорейской  школе оформилось доказательство как  метод математики, тем самым математика выделилась как особая наука. Пифагорейская математика – это математика доказательства.

     Однако  состояние греческой математики к моменту этого важнейшего открытия своего времени является в значительной степени загадкой. Об этом в той  иди иной степени можно судить уже по позднейшим документам, часть из которых в свою очередь опираются на устные предания, доверенность которых нелегко установить.

     Тот факт, что древние греки выделяли из области натуральных чисел  такие, как треугольные, квадратные, прямоугольные, телесные, говорит о том, что представление геометрической фигуры, измерение площадей и объёмов простейших прямолинейных фигур и тел предваряло науку о числе, т.е. арифметику – теорию чисел. Однако учение о геометрических объектах, изучение геометрических свойств фигур и тел в течении весьма длительного периода времени ещё не выделялось в нечто самостоятельное, не представляло особый от арифметики теоретический интерес. Основным вопросом, имеющим отношение к геометрии, был вопрос об измерении, и в связи с ним – преобразование площадей и позднее объёмов. И ясно, что там, где решаются, пусть ещё примитивно, вопросы измерения, возникает и проблема сравнения величин, т.е. вопросы соизмеримости величин.

     Преобразование  площадей и изучение наиболее совершенных, с точки зрения древних греков, геометрических фигур привели к задаче удвоения квадрата. Нетрудно было обнаружить, что площадь квадрата, построенного на диагонали данного, вдвое больше данного квадрата. Но тут – то сразу и возникла трудность: надо «назвать» сторону квадрата, а как? Как выражается сторона нового квадрата? Какое число выражает сущность его стороны, т.е. диагонали данного квадрата, если сторона его выражается целым числом или, в частности, единицей?

     Факт, что не существует целого числа, равного корню квадратному из двух, очевиден. Но сущность вещей определяется отношением целых чисел. Следовательно, для выяснения сущности стороны квадрата, площадь которого равна двум, необходимо отыскать это отношение. Задача будет решена, если будет найдено отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, выраженное отношением целых чисел. Попытки отыскания общей меры между стороной квадрата и его диагонали показали, что картина всё время периодически повторяется; через конечное число шагов процесс приводит к определению отношения между стороной и диагональю квадрата. Таким образом, процесс нигде не может оборваться, сколько бы мы его не продолжали, число шагов будет бесконечным. Значит, отыскать общую меру двух величин невозможно. Любая же пара целых чисел всегда имеет общую меру – общий наибольший делитель этих чисел.

     Геометрическое  доказательство иррациональности корня  квадратного из двух до нас не дошло. Есть доказательство арифметическое, оно опирается на основное свойство чисел: чётность и нечётность.

     Платон  считает, что благодаря изучению чисел человек может подняться  над миром чувственных вещей, переходящих и изменяющихся, и  проникнуть в мир истины и сущности, вечный и неизменный. Числа –  это та лестница, по которой человек  приходит к познанию истины. И опять-таки сущность вещей познаётся через числа.

     А между тем Платон устами Теэтета  говорит только о геометрическом доказательстве. Значит, ни Теэтет,  ни его учитель Феодор из Кирены, не знали арифметического доказательства этого приложения. Это тем более странно, что и Теэтет фактически, как это будет сказано ниже, искал средства «выразительности» «невыразимых» величин посредством чисел.

     После открытия иррациональности корня квадратного  из двух математическая мысль должна была, естественно, пойти по линии исследования в том же направлении последующих за 2 чисел.

     Остановимся кратко на развитии теории иррациональности.

     Само  открытие несоизмеримости должно было, конечно, привести к необходимости  некоторой классификации величин. Завершением греческой теории иррациональности следует, конечно, считать десятую книгу «Начал» Евклида. Попытка расширить область исследования иррациональных величин, предпринятая Аполлонием, положительных результатов не дала.

     Не  останавливаясь пока на содержании десятой  книги «Начал» Евклида, на тех идеях, исходя из которых, построена в ней классификация иррациональных величин, мы попытаемся проследить ход развития этой теории в более ранний период развития греческой математики.

     Первым  достоверным источником по данному  вопросу являются сочинения Платона и в первую очередь его диалог «Теэтет». Это сочинение названо по имени математика Теэтета, ученика Феодора из Кирены, друга и учителя Платона.

     Ван дер Вардер считает Теэтета величайшим алгебраистом древности. Он считает, что  Теэтет создал и завершил теорию иррациональностей древних греков, т.е. создание десятой книги «Начал» Евклида Ван дер Вардер приписывает полностью Теэтету. Тем самым утверждается, что к 399 году до нашей эры греческая теория иррациональностей была завершена, была установлена и теоретически  обоснована классификация иррациональностей, составляющих формально содержание десятой книги «Начал» Евклида. Но об этом можно ещё спорить.

     Оставим пока в стороне вопрос о доле Теэтета  в создании десятой книги. Попытаемся последить, насколько это будут, возможно, путь, по которому шло развитие теории.

     После открытия несоизмеримости стороны  квадрата, площадь которого равна 2, с линейной единицей измерения, т.е. иррациональности корня квадратного  из двух, естественно было выяснить, как будут себя вести в этом отношении стороны квадратов, площади которых выражаются различными целыми числами. И вот Феодор из Кирены геометрически доказал несоизмеримость сторон квадратов, площади которых равны: 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, и 17 кв. футам, с единицей измерения, т.е. доказал иррациональность этих чисел.

     Продолжая исследования своего учителя, Теэтет пошел  дальше и прежде всего установил, что таких несоизмеримых величин, которые выражаются квадратными  корнями из целых чисел, бесчисленное множество, т.е. существует бесчисленное множество квадратных корней из целых чисел, которые являются иррациональными величинами. Но Теэтет на этом не останавливается. Надо «назвать» эти новые вещи, надо каждому из них дать «имя», сделать их «выразимыми». Но для этого необходимо это множество величин особой природы как-то систематизировать, вскрыть характеристические особенности каждого элемента этого множества. Эти особенности, считает Теэтет, зависят от структуры целых чисел, ибо «именами» должны служить целые числа. Поэтому в первую очередь необходимо провести нужную классификацию самых целых чисел. И тут он обращается непосредственно к геометрическим фигурам и телам.

     «Мы разделили, - говорит далее Теэтет, - все числа на два рода; числа, происходящие от квадрата какого-нибудь числа, назвали мы, уподобляя фигуре квадрата, квадратными и равносторонними».

     «А  число, находящееся в промежутке между назваными, такие, как 3,5 и другие, которые не могут произойти от умножения какого-нибудь числа на самого себя, а возникают от умножения большего числа на меньшее или меньшего на большее (представленные в виде геометрической фигуры) всегда заключаются между равными сторонами, мы назвали, тоже уподобляя их продолговатой фигуре, продолговатыми числами».

     Форма геометрической фигуры, а именно прямоугольника, берётся в качестве характеристики числа. Если число, подобно площади квадрата, может быть представлено в виде произведения одинаковых сомножителей, то оно называется квадратным числом. В противном случае число называется прямоугольным. Таким образом, Теэтет отображает множество целых чисел на множество прямоугольников.

     Установим такое соответствие, Теэтет оборачивает  задачу: с помощью построенной  им классификации чисел он переходит  от классификации геометрических величин-отрезков. Аналогично разбиению всех чисел на два класса – квадратные и прямоугольные – он из множества отрезков выделил, прежде всего, тоже два класса. Как он это делает, ясно видно из следующего места диалога Платона: «Линии, которые дают в квадрате равностороннее и квадратное число, выразили мы в понятии линейного измерения, линии же, которые образуют прямоугольное число, выразили в понятии потенциального (т.е. выраженного в квадратных корнях) измерения, так как они соизмеримы с первым не в линейном измерении, а в площадях, для которых они суть корни».

     Мысль, выраженная в этом отрывке, заключена  в следующем. Теэтет выбирает отрезок, который в дальнейшем служит ему  единицей измерения; обозначим его  через ρ. Затем он сравнивает с  ним другие отрезки, но не посредственно, а через площади квадратов, построенных на них. Если площадь квадрата, построенного на испытуемом отрезке, выражается квадратным числом, т.е. содержит квадратное число раз площадь квадрата, построенного на ρ, то отрезок называется соизмеримым с ρ по длине. Если же площадь квадрата, построенного на испытуемом отрезке, выражается прямоугольным числом, т.е. содержит целое, но не квадратное число раз площадь квадрата, построенного на ρ, то сам отрезок называется соизмеримым с ρ в степени, в квадрате.

     Таким образом, Теэтет из всего множества  отрезков выделяет два класса: класс  соизмеримых с выбранной единицей по длине и класс соизмеримых  с ней в квадрате.

     И тут первый цикл Теэтета замыкается. Множеству целых чисел Теэтет поставил во взаимно однозначное соответствие некоторое множество площадей прямоугольников. Этому множеству площадей прямоугольников поставлено во взаимнооднозначное соответствие множество отрезков – сторон разновеликих с прямоугольниками квадратов. И, наконец, полученное множество отрезков, отображается взаимнооднозначно на множество целых чисел, тем самым отрезки становятся «выразимыми», каждый из них известным образом определяется целым числом.

     И Теэтет, очевидно, как Евклид, отрезки, соизмеримые с ρ в степени, не считал иррациональными в собственном смысле. К последним, надо полагать, Теэтет относил отрезки, несоизмеримые с ρ ни по длине. Ни в степени.

     «То же проделали мы и с кубическими  телами», - продолжал Теэтет. Значит, кроме отрезков, соизмеримых в  квадрате, были, очевидно, выделены и отрезки, соизмеримые с ρ в кубе.

     Непосредственных  исторических источников, которые могли  бы дать прямой ответ на вопрос о  том, как далеко шла классификация  иррациональных величин Теэтета, почти  нет. Имеется ещё одно указание в  отрывке из комментария Паппа Александрийского к Евклиду. Одним из источников, на который опирается Папп, является «История геометрии» Евдема Родосского, не дошедшая до нас. В этом отрывке Папп утверждает, что Теэтет отличал величины соизмеримые по длине от несоизмеримых. Кроме того, он разбил известные тогда иррациональные на классы по различным средним. Причём среднюю относил Теэтет к геометрии, прямую с двумя именами (бионом)- к арифметике, апотому (вычет) – к музыке.

     Речь, очевидно, идёт об отрезках, длины которых  мы бы выразили формулами:

√ а√ b ,              √ a +√b,                √ a -√ b

где в первом случае b – неквадратное число, а  во втором и третьем случаях, по крайней  мере, одно из чисел a или b - неквадратное число.

      Величину, соизмеримую с единицей измерения степени, можно рассматривать как среднюю геометрическую двух целых чисел (или рациональных), произведение которых не равно квадратному числу.

      Следовательно, средняя геометрическая двух соизмеримых  с ρ по длине, то их сумма и разность тоже соизмеримых с ρ и каждым из них по длине.

      К собственным иррациональным величинам, по-видимому, относились такие, которые несоизмеримы с единицей измерения ρ ни по длине, ни в степени.

           Возможно, Теэтет действительно  доказал, что величины, выражающиеся формулами:

√ а√ b ,              √ a +√b,                √ a -√ b

где в первом случае b – неквадратное число, а  во втором и третьем случаях, по крайней  мере, одно из чисел a или b - неквадратное число, относятся к собственным  иррациональным величинам. В самом  деле, после того, как было установлено, что существуют иррациональные величины, и после выделения величин, соизмеримых по длине и в степени, вполне естественным было выяснение характера величин, несоизмеримых в степени с основной единицей измерения, которые могут быть получены извлечением квадратного корня из отрезков, соизмеримых с ρ степени, а так же их вычитанием и сложением.

      Трудно  сказать, что-нибудь определенное, в  каком направлении, и до каких  границ дошла классификация иррациональных величин у Теэтета. Ведь Папп говорит лишь о разбиении Теэтетом квадратных иррациональностей на три класса: средних, биномов и  вычетов. Классификацию же самих  биномов и  вычетов он приписывает к Евклиду.