Геометрия зрения, иллюзии. Морис Эшер

     Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Только спустя десятилетия учёные стали  изучать свойста этих фигур и  с помощью ЭВМ создавать то, что Эшер рисовал вручную.

6.3 Математическая составляющая в работах Эшера

 

       

     Все же творчество Эшера интересно математикам  не только потому, что в его работах  можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они  вызывают ассоциации с общими математическими  идеями. Платон считал, что абстрактные  идеи живут отдельно в "мире чистых сущностей" (таковы идеи пространства и времени). В таком, платоновском понимании мир Эшера и мир математики.

     Отец  Морица однажды обнаружил рисунок  своего сына, на котором был изображен... квадратный круг.

     В процессе своей работы он черпал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.

6.3.1 Невозможные фигуры

 

       

     Он  был очарован всевозможными парадоксами  и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства. Эшер создал свою невозможную фигуру это квадрат. И использует его в своих картинах для создания большей загадочности и абсурда.

 

       

     Невозможная лестница была первым невозможным объектом, который использовал Эшер в своём  творчестве. В реальности не существует лестницы, по которой можно одниматься, спускаясь, как в его литографии «Восхождение и спуск» . Прямоугольник внутреннего двора замкнут стенами здания, у которого вместо крыши – бесконечная лестница по которой идут на встречу друг другу люди…  

       

     Если  двигаться по лестнице по часовой стрелке, то мы будем постоянно подниматься, а если будем двигаться против часовой стрелки, то – спускаться.

 

       

     Секрет  здесь кроется в том, что в  реальной модели невозможной лестницы должен быть разрыв в районе правого  угла (на рисунке), которого в данном случае не видно, так как точка обзора выбрана намеренно, чтобы скрыть этот разрыв.

     «Водопад» — литография голландского художника Эшера. Впервые была напечатана в октябре 1961 года. В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Водопад имеет структуру «невозможного треугольника Пенроуза». Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель. Но ведь, как известно из школьного курса физики, вечный двигатель невозможен! Как же Эшеру удалось с такими подробностями изобразить то, чего в природе вообще не может быть?! При попытке соорудить двигатель согласно чертежу "обман" всплывает сразу - в трехмерном пространстве такие конструкции геометрически противоречивы и могут существовать только на бумаге, то есть на плоскости, а иллюзия "объема" создается лишь за счет признаков перспективы (в данном случае - умышленно искаженных).

 

6.3.2 Визуальные парадоксы

 

       

     Эшер  понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

6.3.3 Мозаика

 

     

     Регулярное  разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

     Интересоваться  мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения".

     Математики  доказали, что для регулярного  разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей. В гравюре «РЕПТИЛИИ» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах.

 

6.3.4 Метаморфозы

 

       

     Во  всех работах Эшера используется ассиметричная геометрия. Он один из немногих умел на холсте изобразить «метаморфозы. Эшер рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и прочее) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые существа. Не составляет особого труда заметить два основных объекта первого из них: это существа, обитающие в небе и воде - птица и рыба. При движении по рисунку снизу вверх, накапливаются несущественные, едва различимые отличия у сходных объектов – наращивается количественная определенность. Это приводит к новому объекту, совершенно не похожему на исходный.

6.3.5 Многогранники

     Правильные  геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники  являются главной фигурой и в  еще большем количестве работ  они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.  

       

       

     Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

       Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством.

     На  гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил  пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

6.3.6 Самовоспроизведение

 

       

     Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого  сознания и способности человеческого  мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии «Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

     Углубляясь  в изучение самовоспроизведения, можно  его обнаружить в отражении и  пересечении отражений реального  мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. 

 

      Заключение 

     90% информации приходит в наш  мозг через глаза. Зная особенности  зрения, человек может анализировать  получаемую картинку, понимать, когда  глаза его обманывают, а когда  изображение полностью реально. Подобные знания могут существенно облегчить жизнь, избавив от неприятностей, связанных со зрительными обманами. Помогут лучше понимать некоторые природные явления, устройства некоторых предметов. Оптические иллюзии сопровождают нас в течение всей жизни. Поэтому знание основных их видов, причин и возможных последствий необходимо каждому человеку.

     Анализ  объяснения оптико-геометрических иллюзий  показывает, что, во-первых, все параметры  зрительного образа взаимосвязаны, благодаря чему и возникает целостное восприятие, воссоздается адекватная картина внешнего окружающего нас мира. Во-вторых, на восприятие влияют сформированные повседневным опытом стереотипы, например, представления о том, что мир трехмерен, начинающие работать, как только в картинку вносятся признаки, указывающие на перспективу.

     Таким образом, мое исследование показало, сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.

     Существует  взаимовлияние в развитии геометрии  и живописи; зрительные иллюзии существуют и их можно объяснить с помощью  геометрии; оптические иллюзии использовались, и будут использоваться человеком в повседневной жизни.

     При работе над темой я узнал много  интересного о жизни замечательного голландского ученого художника Эшера. В работе я представил произведения художника разных лет и дал подробные описания использованных в них эффектов разбиения плоскости и трехмерного пространства, которые помогут учителям математики, истории, изобразительного искусства, информатики и физики при подготовке к урокам, внеклассным и факультативным занятиям, просто расширят кругозор. Эшера можно назвать художником одиночкой. Его работы трудно отнести к какому-либо художественному направлению. Эшер не много не дожил до компьютерной революции, но своими работами он доказал, что предвидел компьютерную графику.