Геометрия

 
 
 
 

(Немного из истории) 

ГЕОМЕТРИЯ

 
 
 
 

    «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Евдем Родосский (4 в. до н. э.)

 
 
 
 

   (от греч. gе — земля и metreo— мерю) — часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре. 

ГЕОМЕТРИЯ

 
 
 
 

• Период  зарождения геометрии  как математической  науки.
• Период становления геометрии как самостоятельной математической науки.
• Период развития аналитической геометрии.
• Период формирования геометрии Лобачевского.
• Период современной геометрии.

 

ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

 
 
 
 

1. Период зарождения геометрии как математической науки 

• Протекал  в Древнем Египте, Вавилоне и Греции, примерно до 5 в. до  н. э.
• Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован.
• Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но оно, несомненно, не первое.

 
 
 
 

• Геометрия  сводилась к правилам  вычисления площадей  и объемов.

Правильно  вычислялись:

• площади треугольника и трапеции,
• объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием.
• Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.
• Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению р=3, иногда же значительно более точному р=3,16...

 

ЕГИПЕТ

 
 
 
 

• Из  достижений вавилонской  математики в области  геометрии, выходящих  за пределы познаний  египтян, следует  отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии.
• Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

 

ВАВИЛОН

 
 
 
 

• Созданная  древними греками  система изложения  элементарной геометрии  на два тысячелетия  вперёд сделалась  образцом дедуктивного  построения математической теории.
• Начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в.— 1-я половина 6 в. до н. э.) и Пифагора Самосского (6 в. до н. э.).
• В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а²+b²=c².

 

ГРЕЦИЯ

 
 
 
 

• В  области геометрии  задачи, которыми  занимались греческие  геометры 6—5вв. до  н. э. после усвоения  египетского наследства, также естественно  возникают из простейших  запросов строительного искусства, землемерия и навигации.
• Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы.
• Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 в. до н. э.).

 

ГРЕЦИЯ

 
 
 
 

2. Период становления геометрии как самостоятельной математической науки 

• На  протяжении нескольких  поколений геометрия  складывалась в  стройную систему. Процесс этот происходил  путём накопления  новых геометрических  знаний, выяснения  связей между разными  геометрическими  фактами, выработки  приёмов доказательств  и, наконец, формирования  понятий о фигуре, о геометрическом  предложении и  о доказательстве.
• Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку; геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.

 
 
 
 

• Сохранились  и сыграли в  дальнейшем решающую  роль появившиеся  около 300      до н. э. «Начала»  Евклида.
• Здесь геометрия представлена так, как ее в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией, начала которой изучают в средней школе, — это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений.

Геометрию, развиваемую на  принципах Евклида, даже уточнённую  и обогащенную  новыми предметами  и методами исследования, называют евклидовой. 

"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА

 
 
 
 

   Падение рабовладельческого античного общества привело к сравнительному застою в развитии геометрии: однако она продолжала развиваться в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии.

 
 
 
 

3. Период развития аналитической геометрии 

    Возрождение наук и искусств в Европе,         вызванное зарождением капитализма,                              повлекло новый расцвет геометрии.

• Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Рене Декартом, который ввёл в геометрию метод координат, позволивший связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом.
• Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую, а потом и дифференциальную геометрию.
• Здесь геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы.

 
 
 
 

4. Период формирования геометрии Лобачевского 

    Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Первая работа Лобачевского в этом направлении была доложена им на заседании физико-математического факультета Казанского университета в 1826 г. и опубликована в развитой форме в 1829 г.

 
 
 
 

• Источник, сущность и значение  идей Лобачевского  сводятся к следующему. В геометрии Евклида  имеется аксиома  о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно.
• Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, будет: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского.
• По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии не должно приводить к противоречию, т. е. все выводы, получаемые на основе такого соединения, будут логически безупречными.