Государственное учреждение образования

     «Гимназия имени Я. Купалы» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     «Геометрия зрения, иллюзии. Морис Эшер.» 
 

     Ученика 7 «А» класса

     Гимназии  имени Я.Купалы

     Трояна  Артёма Александровича

     Научный руководитель – учитель

     математики  высшей категории

     Гимназии имени Я.Купалы

     Чак Елена Николаевна 
 
 
 
 
 

     Мозырь-2010

 

      Оглавление 

Введение

1. Разновидности иллюзий.

2. Анатомия зрения

3. Иллюзии, связанные с особенностями строения глаза

3.1 Иррадиация

3.2 Слепое пятно

3.3 Астигматизм

4. Геометрия зрения

5. Оптические иллюзии

6. Ма́уриц Корне́лис Э́схер

6.1 Биографические сведения

6.2 Творчество

6.3 Математическая составляющая в работах Эшера

6.3.1 Невозможные фигуры

6.3.2 Визуальные парадоксы

6.3.3 Мозаика

6.3.4 Метаморфозы

6.3.5 Многогранники

6.3.6 Самовоспроизведение

Заключение

Литература

 

      Введение

 

     В гимназии я изучаю такой предмет, как геометрия. Это наука со своим специфическим методом познания мира, так как она изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве, их свойства. Это пространство, которое окружает нас. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя не у всех можно указать длину, ширину, высоту Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творения природы и человека. Представители естественных наук, в частности физиков и астрономов всегда волновала надежность визуальных наблюдений.

     Мы  привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие моменты  мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного восприятия. Ученые создали немало обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности человеческого глаза.

     Впервые увидев картины художника-одиночки Мориса Эшера я заинтересовался  ими и решил исследовать математическую сторону иллюзий, проанализировать необычные работы художника.

     Цель  работы: объяснить зрительные иллюзии с точки зрения геометрии, увидеть и обосновать математическое начало в творчестве Мориса Эшера; углубить понимание природы зрения и восприятия в целом, в том числе иллюзорном.

     Задачи  исследования:

     1. изучить теоретический материал  по данной теме;

     2. изучить и систематизировать  картины Мориса Эшера;

     3. найти примеры использования оптических иллюзий.

 

1. Разновидности иллюзий

 

     Иллю́зия (лат. illusio — заблуждение, обман) — искаженное восприятие реально существующего объекта или явления. Иллюзии могут возникать у психически здоровых людей .

     Разновидности иллюзий:

     Физические  — связаны с действующими в  мире объективными законами физики (например, оптическая иллюзия: ложка, частично погруженная в стакан с водой, воспринимается как надломленная).

     Оптические  иллюзии — ошибки в зрительном восприятии, вызванные неточностью  или неадекватностью процессов  неосознаваемой коррекции зрительного  образа.

     Звуковые  иллюзии.

     Физиологические — связаны с особенностями  периферических или центральных  звеньев анализаторов (органов чувств) человека (например, если несколько  раз поднять одновременно обеими руками пару различных по массе предметов, а затем другую пару предметов одинаковой массы, то предмет, оказавшийся в руке, в которой до того был более легкий, покажется более тяжелым, чем предмет, находящийся в другой руке).

     Аффективные — возникают под влиянием выраженных колебаний настроения или в связи  с остроформирующимся аффектом страха, тревоги.

     Вербальные  — возникают в результате искаженного  восприятия реальных разговоров окружающих людей.

     Органические (метаморфопсии) — искаженное зрительное восприятие формы, величины, цвета, пространственного  расположения, состояния покоя или движения реально существующего предмета; различают аутометаморфопсии (ощущения изменения величины, формы частей собственного тела) и экзометаморфопсии (нарушения восприятия окружающих предметов); данный вид расстройств восприятия может наблюдаться не только у психически больных, но и у психически здоровых людей с патологией органа зрения.

     Иллюзии осознаваемости (воплощенной осознаваемости) — ощущение, что рядом якобы  кто-то находится; этот вид иллюзий  выделен К. Ясперсом; по мнению автора, данный вид иллюзий является признаком формирования галлюцинаций и бреда.

     Парейдолические (функциональные иллюзии) — особый вид иллюзий, при которых из сложных  узоров (на ковре, зимнем стекле) возникают  и постепенно развиваются сложные  фантастические картины.

 

2. Анатомия зрения

 

     То, о чем мы думаем как о чем-то, что мы видим, дает нам гораздо  более достоверные сведения о  нас самих, нежели об окружающем мире. И эта идея лежит в основе главнейших психологических и духовных учений мира.

     Когда ученые объясняют феномен зрения, они часто начинают, сравнивают глаз с фотоаппаратом. Свет, подобно тому, как это происходит с линзами аппарата, попадает в глаз через небольшое отверстие — зрачок, расположенный в центре радужной оболочки глаза. Зрачок может быть шире или уже: таким образом, регулируется количество попадающего света. Далее свет направляется на заднюю стенку глаза — сетчатку, в результате чего в мозгу возникает определенная картинка (образ, изображение). Точно так же, когда свет попадает на заднюю стенку фотоаппарата, изображение фиксируется на пленку. Однако анатомия зрения не сводится к этому. Чтобы понять процесс сознательного визуального восприятия, необходимо исследовать и то, как человек, чтобы видеть, одновременно использует и глаза, и мозг, а для этого недостаточно простой аналогии с фотоаппаратом. Занимаясь изучением анатомии человеческого зрения, быстро обнаружим, что свет, проникая в глаза, способствует возникновению целого ряда явлений и процессов в нашем сознании, естественно, влияя на нашу жизнь в целом. Более того: хорошо видеть — не значит просто иметь острое зрение. Зрение формирует саму нашу жизнь, определяя не только то, насколько точно и отчетливо мы можем воспринимать свет, различать цвета и видеть те образы, что проходят перед нами, но и то, как мы проживаем собственную жизнь, что мы при этом испытываем и как взаимодействуем с окружающим миром.

     Оптические  обманы - не случайные спутники нашего зрения: они сопровождают его при  строго определенных условиях, с неизменным постоянством закономерного явления и имеют силу для каждого нормального человеческого глаза. То, что человеку свойственно при известных обстоятельствах поддаваться иллюзиям зрения, обманываться относительно источника своих зрительных впечатлений, не следует вовсе рассматривать как всегда нежелательный недостаток, безусловный порок нашей организации, устранение которого было бы для нас во всех отношениях благотворно.  

       

     Что касается причин, обусловливающих ту или иную иллюзию зрения, то только для весьма немногих оптических обманов существует твердо установленное, бесспорное объяснение; к ним принадлежат те, которые обусловлены строением глаза: иррадиация, иллюзия Мариотта (слепое пятно), иллюзии, продолжаемые астигматизмом, и т. п.

     Одна  из самых известных оптико-геометрических иллюзий - иллюзия Мюллера-Лайера. Посмотрев на этот рисунок, большинство наблюдателей скажет, что левый отрезок со стрелочками наружу длиннее правого со стрелочками, направленными внутрь.

 

3. Иллюзии, связанные  с особенностями  строения глаза

 

     Закрыть левый глаз и посмотреть правым на фигуру, изображенную слева, держа рисунок на расстоянии 15-20 см. от глаза. При некотором положении рисунка относительно глаза изображение правой фигуры перестает быть видимым.

3.1 Иррадиация

 

     Рассмотрим  одну из самых распространенных иллюзий (Приложение 1). При рассматривании издали белые фигуры внизу — круг и квадрат — кажутся крупнее черных, хотя те и другие равны. Чем больше расстояние, тем иллюзия сильнее. Явление это называется иррадиацией.

     Иррадиация  обусловлена тем, что каждая светлая точка предмета дает на сетчатке нашего глаза не точку, а маленький кружок (вследствие так называемой сферической аберрации); поэтому светлая поверхность окаймляется на сетчатке светлой полоской, увеличивающей занимаемое ею место. Черные же поверхности дают изображения, уменьшенные за счет светлой каймы окружающего фона. 

       

     Эффектом  иррадиации объясняется и различное  впечатление от поверхностей, покрытых поперечными или продольными  полосками. Поле с поперечными полосками  кажется более низким, чем поле с продольными, так как белый цвет окружающий поля проникает наверху и внизу между полосками и визуально уменьшает высоту поля.

 

3.2 Слепое пятно

 

     Естественные  иллюзии появляются из-за особенностей в строении нашего зрительного аппарата. На поверхности сетчатки, у основания зрительного нерва, есть участок лишенный чувствительных к свету клеток. Лучи, приходящие в эту зону, не воспринимаются нами. Мы можем «терять» элементы окружающей нас картинки, если они совпадают со слепым пятном.

     Чтобы подтвердить это явление проведем ряд экспериментов.

     1. Рассматривая левым глазом крестик  (Приложение 2) в правой части фигуры, мы на некотором расстоянии  не увидим вовсе черного кружочка, хотя будем различать обе окружности. Круг совпал со слепым пятном.

     2. Закрыв правый глаз, смотрите левым на верхний крестик (Приложение 2), с расстояния 20 - 25 сантиметров. Вы заметите, что средний большой белый кружок исчезает совершенно, хотя оба меньших кружка по бокам его хорошо видны. Если, не меняя положения рисунка, смотреть на нижний крестик, кружок исчезает только отчасти. Этот опыт носит имя своего создателя – Мариотта.

     Исчезновение  элементов в этих опытах обусловлено  тем, что при указанном положении  глаза относительно фигуры изображение  кружка попадает на так называемое слепое пятно - место входа зрительного нерва, нечувствительное к световым раздражениям. 

       

     Известно, что Мариотт забавлял английского  короля Карла II и его придворных тем, что учил их видеть друг друга  без головы. Сетчатая оболочка глаза  в том месте, где в глаз входит зрительный нерв, не имеет светочувствительных окончаний нервных волокон (палочек и колбочек). Следовательно, изображения предметов, приходящиеся на это место сетчатки, не передаются мозгу.

     Вот интересный пример. На самом деле круг идеально ровный. Стоит прищуриться, и мы это видим.

3.3 Астигматизм

 

     Астигматизмом - это неодинаковая выпуклость роговой  оболочки глаза в различных направлениях (вертикальном, горизонтальном). Редкий глаз вполне свободен от этого несовершенства. Приблизительно 10% всех людей страдают врожденным астигматизмом.

     Рассмотрим  ещё одну иллюзию, связанную с  астигматизмом. Эта фигура

     (Приложение 3) дает другой способ обнаружить  астигматизм глаза. Приближая  ее к исследуемому глазу (закрыв  другой), на некотором, довольно близком, расстоянии, сосредоточив взгляд на белом квадратике вверху, вы приблизительно через полминуты заметите, что нижняя белая полоса исчезнет (вследствие утомления сетчатки).