Числовая последовательность: понятие и виды

Числа Фибоначчи  обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от 1-го до И_n равна следующему через одно число (И_n+2) без 2-х единиц.

Отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному приблизительно 2,618: Удивительное свойство! Получается, что Ф + 1 = Ф^2.

Золотая пропорция  является иррациональной величиной, она  отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность природы. Совокупность этих закономерностей отражают диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного.

В математике известны фундаментальные числа  и е, к ним возможно добавить Ф.

Оказывается все  эти универсальные иррациональные числа, широко распространенные в различных  закономерностях, связаны между  собой.

е i + 1 = 0 - эта формула открыта Эйлером и позже де Муавром и названа в честь последнего.

Ф = 2 Cos

Не свидетельствуют  ли эти формулы об органическом единстве чисел е, , Ф?

Об их фундаментальности? 

             1.5.2. Использование ряда  чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы

Мир живой и  неживой природы, казалось бы между  ними дистанция огромного размера, это скорее антиподы, чем родственники. Но не следует забывать, что живая  природа в конечном итоге возникла из неживой (если не на нашей планете, то в космосе) и должна была по законам наследственности сохранить какие-то черты своей прародительницы.

Мир неживой  природы - это прежде всего мир  симметрии, придающий его творениям  устойчивость и красоту. Симметрия  сохранилась и в живой природе. Симметрия растений унаследована от симметрии кристаллов, симметрия которых унаследована от симметрии молекул и атомов, а симметрия атомов - от симметрии элементарных частиц.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике. Движение протоплазмы в клетке часто спиральное, носители информации - молекулы ДНК - также скручены в спираль. Установлены и винтовое расположение атомов в некоторых кристаллах (винтовые дислокации). Кстати, кристаллы с винтовой структурой обладают сверхпрочностью. Не потому ли живая природа и предпочла этот вид структурной организации, унаследовав его от неорганических веществ?

Чем же может быть выражена данная закономерность, сходство живой и неживой природы?

Чешуйки сосновой шишки располагаются по спирали, их число равно 8 и 13 или 13 и 21. В корзинках  подсолнечника семена также располагаются  по спиралям, их число обычно составляет 34 и 55 или 55 и 89.

Присмотритесь к ракушкам. Когда-то они служили  домиками для маленьких моллюсков, которые они выстроили сами. Моллюски давно погибли, а их домики будут  существовать тысячелетия. Выступы-ребра на поверхности ракушки инженеры называют ребрами жесткости - они резко повышают прочность конструкции. Эти ребра расположены по спирали и в любой ракушке их 21.

Возьмите любую  черепаху - от болотной до гигантской морской - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластины.

На лапах у  черепах 5 пальцев, а позвоночный  столб состоит из 34 позвонков. Все  указанные величины отвечают числам Фибоначчи.

У ближайшего родственника черепахи - крокодила туловище покрыто 55 роговыми пластинами. На теле кавказской гадюки расположено 55 темных пятен. В ее скелете насчитывается 144 позвонка.

Следовательно, развитие черепахи, крокодила, гадюки, формирование их тел, осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.

У комара: 3 пары ног, на голове 5 усиков - антенны, брюшко делится на 8 сегментов.

У стрекозы: массивный  корпус и длинный тонкий хвост. В  корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко.

Брюшко разделено  на 5 сегментов, хвост состоит из 8 частей.

Нетрудно видеть в этих числах развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса  и общая длина стрекозы связаны  между собой золотой пропорцией: L хвоста = L стрекозы = Ф

• L корпуса
• L хвоста

Высшим типом  животных на планете являются млекопитающие. Число позвонков у многих домашних животных равно или близко 55, число пар ребер примерно 13, грудная кость содержит 7 + 1 элемент.

У собаки, свиньи, лошади - 21 + 1 пара зубов, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов - 233.

Ряд чисел Фибоначчи определяет общий план развития организма, эволюции видов. Но развитие живого осуществляется не только скачками, но и непрерывно. Организм любого животного находится в постоянном изменении, постоянном приспособлении к среде своего обитания. Мутации наследственности нарушают план развития. И неудивительно, что при общем преобладающем проявлении чисел Фибоначчи в развитии организмов часто наблюдаются отклонения от дискретных величин. Это не ошибка природы, а проявление подвижности организации всего живого, его непрерывного изменения.

Числа Фибоначчи  отражают основную закономерность роста  организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким-то образом проявиться.

У человека:

1 - туловище, голова, сердце и т.д.

2 - руки, ноги, глаза, почки

Из 3 частей состоят  ноги, руки, пальцы рук

5 пальцев на  руках и ногах

8 - состав руки  вместе с пальцами

12 пар ребер  (одна пара атрофирована и присутствует  в виде рудимента)

20 - число молочных  зубов у ребенка

32- число зубов  у взрослого человека

34 - число позвонков

Общее число  костей скелета человека близко к 233.

Этот список частей тела человека можно продолжить. В их перечне очень часто встречаются  числа Фибоначчи или близкие  к ним величины. Отношение рядом  стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношение чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.

Человек, как  и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубоко - в строении клеток, хромосом и генов, и далеко - в возникновении самой жизни на Земле. 

2. Собственные исследования.

Задача № 1.

Какое число  должно стоять вместо вопросительного  знака 5; 11; 23; ?; 95; 191? Как вы его нашли?

Решение:

Нужно умножить предыдущее число на 2 и прибавить единицу. Так получаем:

(5∙2)+1=11;

(11∙2)+1=23;

(23∙2)+1=47  => 47- число вместо знака вопроса.

Ответ: 47.

Задача № 2.

Найти сумму  Sn=1/(1∙2)+1/(2∙3)+1/(3∙4)+…+1/n(n+1)

Решение:

Запишем что 1/n(n+1)= 1/n  -  1/(n+1). Тогда перепишем сумму в виде разности =>

Sn= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/(n-1) – 1/n)+ (1/n  -  1/(n+1))= 1-1/(n+1)= =n/(n+1n).

Ответ: n/(n+1n).

Задача № 3.

Пользуясь определение  предела последовательности, докажите что:

ℓim n→∞ an=a, если an= (3n-1)/(5n+1);  a= 3/5

Решение:

 Покажем, что для любого ε>0 существует такой номер N(ε), что |an-a|< ε, для

n> N(ε)

|an-a|<|(3n-1)/(5n+1)  - 3/5| = |(5(3n-1)-3(5n+1))/5(5n+1)|= |-8/5(5n+1)|= 8/5(5n+1)

8/5(5n+1) < ε =>  5n+1> 8/5ε => n> (8/25ε)- 1/5

 Из последнего  неравенства следует что можно выбрать N(ε)= [(8/25ε)- 1/5] и при любых n> N(ε) будет выполняться неравенство |an-a|< ε. Значит, по определению предела последовательности   ℓim n→∞ (3n-1)/(5n+1)=3/5

Задача № 4.

Вычислите пределы  числовых последовательностей

ℓim n→∞ (3-4n)²/(n-3)³-(n+3)²=

ℓim n→∞ (9-24n+16n²)/( n³-9n²+27n-27)- (n³+9n²+27n+27)=

ℓim n→∞(16n²-24n+9)/(-18n²-54)=

ℓim n→∞ (16-24|n+9|n²)/((-18-54)/n²)= 16/-18= -8/9.

Задача № 5.

Найти ℓim n→∞ (tg x)/ x

Решение:

Имеем ℓim n→∞  (tg x)/ x= ℓim n→∞  (sin x)/ x ∙ 1/ (cos x)= ℓim n→∞  (sin x)/x ∙ ℓim n→∞  1/(cos x)= 1∙1/1=1

Ответ : 1. 
 
 
 
 
 
 
 

                        Заключение.

    В заключении я бы хотела сказать, что  мне было очень интересно работать по данной теме. Так как эта тема очень интересная и познавательная. Я познакомилась с определением последовательности, с её видами и свойствами,  с числами Фибоначчи. Познакомилась с пределом последовательности, с прогрессиями. Рассмотрела аналитические задания, содержащие последовательность. Узнала методы решения заданий с последовательностью, связь математических последовательностей с другими областями знаний. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                     Список  использованной литературы.

   1. Математика. Большой справочник для школьников  и поступающих в вузы./

Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин и др.- 2-е  изд.- Москва: Дрофа, 1999.

   2. Ресурсы  Интернета :

• ru.wikipedia.org
• www.pm298.ru
• www.krugosvet.ru
• www.uztest.ru