Числовая последовательность: понятие и виды

      Если {xn} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же  всё же {xn}  содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn}  всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

      Если {an}  — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же  всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой. 

      1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства.

      Сходящаяся  последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая  предел в этом множестве.

      Расходящаяся  последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся.

      Всякая  бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен  нулю.

      Удаление  любого конечного числа элементов  из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

      Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

      Если  последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной.

      Сумма сходящихся последовательностей также  является сходящейся последовательностью.

      Разность  сходящихся последовательностей также  является сходящейся последовательностью.

      Произведение  сходящихся последовательностей также  является сходящейся последовательностью.

      Частное двух сходящихся последовательностей  определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

      Если  сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

      Если  сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

      Если  для любого номера члены одной  сходящейся последовательности не превышают  членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

      Если  все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат  на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к  одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

      Пример. Доказать, что последовательность (xn)=((2n+1)/n) сходится к числу 2.

      Решение.

      Имеем |xn-2|=|((2n+1)/n)-2|= 1/n. для любого α>0, m принадлежит N такое, что 1/m<α. Тогда n>m справедливо неравенство 1/m<α и, следовательно, |xn-1|<α; т.е. ℓim n→∞ xn=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Предел  последовательности.

     Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

     Если  число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

     Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

     Окрестностью  точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.

     Итак, выясним, что же означает геометрически  понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее  неравенство из определения в  виде

       

 
 
 
 
 

     Это неравенство означает, что все  элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a –  ε; a + ε).

     Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

     Пример 1.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

 

       

     Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - 1| < ε. Действительно, т.к. 

      , 

     то  для выполнения соотношения |x_n - a| < ε достаточно, чтобы 

       или .  

     Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное  число, удовлетворяющее неравенству  , получим что нужно. Так если взять, например,

       ,  

     то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь  

      .

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что

 

       .  

     Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим 

      .

     Тогда , если или , т.е. .  

     Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству 

       . 

     Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают  одно и то же постоянное значение x_n = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство

     |x_n - c| = |c - c| = 0 < ε. 

     Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может  иметь двух пределов. Действительно, предположим, что x_n → a и одновременно x_n → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε. Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

     Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает  значения  

      .  

     Несложно  заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу. 

     Пример 2.

     Доказать, что  ℓim n→∞ qⁿ=0 при |q| < 1. 
 

     Доказательство:

     1). Если q=0, то равенство очевидно. Пусть α> 0- произвольно и 0<|q|<1. тогда пользуясь неравенством Бернулли, получим

     1/|q|= (1+(1/|q|-1))ⁿ > 1+n(1/|q|-1)> n(1/|q|-1)

     Отсюда

     |q|ⁿ=|q|ⁿ< |q| / (n(1-|q|) <α              n>|q| / (n(1-|q|) 

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей.

1. Последовательность, имеющая предел, ограничена;
2. Последовательность может иметь только один предел;
3. Любая неубывающая (невозрастающая) и не ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел;
4. Предел постоянной равен этой постоянной:

            ℓim n→∞ C=C

5.Предел  суммы равен сумме пределов:                                                            ℓim n→∞(an+bn)= ℓim n→∞ an+ ℓim n→∞ bn;

6. Постоянный множитель можно выносить  за знак предела:

      ℓim n→∞ (Сan)= C ℓim n→∞ an;

7. Предел произведения равен произведению пределов:

      ℓim n→∞ (an∙bn)= ℓim n→∞ an ∙ ℓim n→∞ bn;

8. Предел частного равен частному  пределов, если предел делителя  отличен от нуля:

    ℓim n→∞ (an/bn)= ℓim n→∞ an / ℓim n→∞ bn, если

    ℓim n→∞bn≠0;

9. Если bn ≤ an ≤ cn  и обе последовательности {bn}и {cn} имеют один и тот же предел α, то ℓim n→∞ an=α.