Числовая последовательность: понятие и виды

                             Содержание:

Введение………………………………………………………………………………3

1. Теоретическая часть……………………………………………………………….4

Основные понятия  и термины…………………………………………………....4

1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6

1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6

1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6 

1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7

1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9

1.2Предел последовательности………………………………………………….11

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15

1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17

1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19

1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21

1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22

1.5.2. Использование  ряда чисел Фибоначчи для описания  живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23

2. Собственные  исследования…………………………………………………….28

    Заключение……………………………………………………………………….30

    Список  использованной литературы…………………………………………....31

                          Введение.

   Числовые  последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний. 

   Цель  исследовательской  работы: Расширить знания о числовой последовательности.

   Задачи:

1. Рассмотреть последовательность;
2. Рассмотреть ее свойства;
3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;
4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.
5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть.

                        Основные  понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

     Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

           Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

      Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: 

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. 

      Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: 

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

     Возрастающие  и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности. 

     Последовательность  называется периодической, если существует такое натуральное число T, что  начиная с некоторого n, выполняется  равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

     Арифметическая  прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

     Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями  

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

     Геометрическая  прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

     Таким образом, геометрическая прогрессия –  это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями  

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). 
 
 
 
 
 
 
 

1. Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности. 

      Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

      Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если  существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

      Последовательности, ограниченные одновременно сверху и  снизу, называются ограниченными.

  Например:

1.1.2 Монотонность последовательностей.

      Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

      Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn <bn+1);

      Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле.

      Последовательности, ограниченные одновременно сверху и  снизу, называются ограниченными.

      Последовательность  всех этих типов носят общее название- монотонные. 
 
 
 
 

      1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности.

      Бесконечно  малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

      Последовательность an называется бесконечно малой, если

      ℓim n→0 an=0. Например, последовательность чисел an=1/n  — бесконечно малая. 

      Функция называется бесконечно малой в окрестности  точки x0, если                 ℓim x→x0 f(x)=0.

      Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если                  ℓim x→.+∞ f(x)=0 либо ℓim x→-∞ f(x)=0 

      Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓim x→.+∞ f(x)=а , то f(x) − a = α(x),                  ℓim x→.+∞ f((x)-a)=0.

      Бесконечно  большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности.

      Последовательность an называется бесконечно большой, если

      ℓim n→0 an=∞.

      Функция называется бесконечно большой в  окрестности точки x0, если ℓim x→x0 f(x)= ∞.

      Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если

       ℓim x→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓim x→-∞ f(x)= ∞ .

      1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей.

      Сумма двух бесконечно малых последовательностей  сама также является бесконечно малой  последовательностью.

      Разность  двух бесконечно малых последовательностей  сама также является бесконечно малой последовательностью.

      Алгебраическая  сумма любого конечного числа  бесконечно малых последовательностей  сама также является бесконечно малой  последовательностью.

      Произведение  ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

      Произведение  любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

      Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

      Если  стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

      Если  вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.