Числовая последовательность: понятие и виды

Пример.

Найдем  предел ℓim n→∞ ((3n-1)/(4n+5)).

Имеем

ℓim n→∞ ((3n-1)/(4n+5))= ℓim n→∞(n(3-1/n))/ (n(4+5/n)=                   (ℓim n→∞ 3-1/n)/ (ℓim n→∞ 4+5/n)= (ℓim n→∞ 3- ℓim n→∞ 1/n)/ (ℓim n→∞ 4+ 5 ℓim n→∞ 1/n)= (3-0)/(4+5∙0)=3/4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Арифметическая  прогрессия.

     Арифметическая  прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии:

            an+1= an+ d,    n=1, 2, 3… .

     Любой член последовательности может быть вычислен по формуле

           an= a1+ (n – 1)d,    n≥1 

               1.3.1. Свойства арифметической прогрессии

    1. Если d> 0, то прогрессия является возрастающей; если d< 0- убывающая;

    2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:

         an= (an-1 + an+1)/2,    n≥2

    3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами:

        Sn= ((2a1+ d(n-1))/2)∙n

4. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

Sn= ((ak+ ak+n-1)/2)∙n

5. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

Sn=(n(n+1))/2 
 
 
 

Пример 1.

Известно, что  при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Решение:

Sn=4n²-3n ( по условию).

Пусть n=1, то S1=4-3=1=a1 => a1=1;

Пусть n=2, то S2=4∙2²-3∙2=10=a1+a2; a2=10-1=9;

Так как a2=a1+d, то d= a2-a1=9-1=8;

 a3= a2+d=17

Ответ: 1; 9; 17. 

Пример 2.

При делении  девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном  получается 2 и в остатке 5. Найти  первый член и разность прогрессии.

Решение:

a1, a2, a3…, an- арифметическая прогрессия

a9/a2=S;

a13/a6=2 ( остаток S)

a9= S∙a2;

a13=2a6+S.

Используя формулу  для n-ого члена прогрессии получим систему уравнений

{a1+8d= S(a1+d); a1+12d = 2(a1+S∙d)+S

{ 4a1=3d; a1=2d-S  

Откуда   4(2d-S)=3d => Sd= 20 => d=4.

Ответ: a1=3; d=4. 
 

                   1.4.Геометрическая прогрессия.

     Геометрическая  прогрессия- это последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называемое знаменателем прогрессии:

     bn+1= bnq, n= 1, 2, 3… .

     Любой член геометрической прогрессии может  быть вычислен по формуле:

     bn= b1qⁿ‾¹ 

                     1.4.1. Свойства геометрической прогрессии.

     1. Логарифмы членов геометрической  прогрессии образуют арифметическую прогрессию.

     2. b²n= bn-i bn+i,   i< n

     3. Произведение первых  n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

     Pn= (b1∙bn)ⁿ َ ²

4. Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Pk,n= (Pn)/(Pk-1);

5. Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

Sn= b1((1-qⁿ)/(1-q)),    q≠ 1

Sn= qbn,   q=1;

6. Если |q|< 1, то bn→0 при n→+∞, и  Sn→(b1)/(1-q), при n→+∞

Примре1.

Пусть а1, а2, а3, … , аn, … – последовательные члены геометрической прогрессии, Sn – сумма ее первых n членов.

Решение:

Sn= a1+a2+a3+…an-2+an-1+ an= a1an (1/an+a2/a1an+a3/a1an+…+an-2/a1an+an-1/a1an+1/a1)= a1an (1/an+ a2/a2an-1+…+ an-2/an-2a3+an-1/an-1a2+1/a1)=

a1a2 (1/an+ 1/an-1+ 1/an-2+…+ 1/a3+1/a2+ 1/a1).    

Ч.т.д. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             1.5. Числа Фибоначчи.

В 1202 году появилась  книга итальянского математика Леонардо из г. Пиза, в которой содержались  сведения по математике, приводились  решения всевозможных задач. Среди  них была простая, не лишенная практической ценности, задача о кроликах: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?"

В результате решения  этой задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Этот ряд  чисел позже был назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо.

Чем же примечательны  числа, полученные Фибоначчи?

(В этом ряду  каждое последующее число является  суммой двух предыдущих чисел). Математически ряд Фибоначчи  записывается следующим образом:

И₁, И₂, : И_n, где И_n = И _{n - 1} + И _{n - 2}

Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют рекуррентными, или возрастными последовательностями.

Рекуррентным  является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами  Фибоначчи.

Оказалось, что  они обладают рядом интересных и важных свойств.

Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи  ряда чисел немецкий математик и  астроном Иоганн Кеплер установил, что  отношение рядом стоящих чисел  в пределе стремится к золотой  пропорции.

Ф - обозначение  золотой пропорции от имени Фидий - греческий скульптор, применявший  золотую пропорцию при создании своих творений.

[Если при  делении целого на две части  отношение большей части к  меньшей равно отношению целого к большей части, то такая пропорция называется "золотой" и равно примерно 1,618]. 
 
 

             1.5.1.Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний

Свойства ряда чисел Фибоначчи неразрывно связаны  с золотой пропорцией и выражают порой магическую и даже мистическую сущность закономерностей и явлений.

Фундаментальную роль числа в природе определил  еще Пифагор своим утверждением "Все есть число". Поэтому математика являлась одной из основ религии  последователей Пифагора (пифагорейского союза). Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.