Анализ терминального члена

 

    Пример  в компании рассматривается вопрос о сумме инвестиций и сумме необходимых займов в наступающем году. Компания осуществляет только один проект, Сделаем также следующие допущения.

    1. Имеющиеся инвестиционные возможности компании не превышают B -1 млн дол. Инвестиции принесут постоянные потоки денежных средств (после уплаты налогов). Пусть ожидаемая величина этих потоков равна С. Тогда С = 0,09х и внутренняя норма доходности проекта равна  -9%.

    2. Рыночная норма капитализации  доходов составляет r = 10%. Значит. если компания использует только собственные источники финансирования проекта, связанные с ним активы создадут чистую приведенную стоимость, равную -0,10 дол. на каждый вложенный доллар

     ( - х  +0,09 х/ 0,10 = -0,1х).

    3.   Политика компании такова, что новые займы не должны превышать 40% новых инвестиций.

    4.   У компании имеется 800 000 дол.  денежных средств.

    5.   Избыточные денежные средства  выплачиваются в виде дивидендов.

    6. Ожидается, что поступления заемных  и собственных средств для  финансирования проекта будут происходить постоянно.

    В целях упрощения мы начнем с формулы  оценки стоимости фирмы Модильяни-Миллера. Если компания ничего не предпринимает  (х и у равны) тогда ее стоимость(v ) (ф. 3.19) равна:

    V= V₀+ Т₀D

    где: T — предельная ставка налога на прибыль (0,5 в данном примере);

    Величина Т₀D  представляет собой приведенную стоимость всех налоговых щитов, возникающих в связи с привлечением заемного капитала, при условии, что займы используются постоянно.

    В нашем примере:

    V = V₀+0,5D-0,1x + 0,5y.

    Величины v₀  и D постоянны, а следовательно, не зависят от выбора значений х и у. Значит, мы можем найти максимальное решение выражения -(- 0,1х: + 0,5у), в котором предусмотрены ограничения на сумму инвестиций, (х ≤ 1) и на сумму займов (у ≤ 0,4х), а соотношение источников и использования капитала выглядит как (х ≤ у + 0,8).

    Решение.

    Математическая  модель задачи следующая:

    Целевая функция:

    

    Ограничения:

    

    Это - задача линейного программирования. Её можно решать графически, т.к. в задаче две переменные. Строим область допустимых решений, ограниченную первой четвертью (x,y - неотрицательны) и тремя прямыми. 

    Рис. 3.1. Графическое решение оптимизационной  задачи 

      Эта зона расположена левее прямой х = 1, так как инвестиционные возможности компании ограничены 1 млн. дол. Она расположена также выше кривой х = 0.8 + у, так как инвестиции ограничены имеющимися денежными средствами (800 тыс. дол.) и дополнительными займами.  Эта зона размещается под кривой у = 0.4.x, поскольку новые заемные средства ограничены суммой 40% инвестиций.

    Далее строим вектор-градиент целевой функции  с координатами (-0.1; 0,5), который указывает направление наискорейшего роста оценки стоимости компании (жирная стрелка на рис.3.1) и перпендикулярную ему линию уровня -0.1x+0.5y=const (пунктирная линия на рис.3.1). Передвигаем линию уровня в направлении вектор-градиента до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Координаты точки выхода и будут являться оптимальным решением задачи. В данном случает решение – это точка А(1;0.4). Целевая функция достигнет в этой точке своего максимума V_max = V(1; 0.4) = 0.1 млн $, с учетом имеющихся ограничений.

    Эту же задачу удобно решать с использованием встроенной функции Поиск решения в таблицах MS Excel. Этот способ является предпочтительным по сравнению с графическим, т.к. исключаются ошибки, связанные с неточностью построения, быстро находится решение, нет ограничений на количество переменных, можно менять условия задачи, анализировать чувствительность решения к изменениям некоторых параметров задачи и т. п.

    Для решения задач оптимизации в  MS Excel используют надстройку Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Данные» (рис. 3.2).  

    

    Рис. 3.2. 

    Рассмотрим использование данной надстройки на рассматриваемом примере.

      Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 3.3. 

    

    Рис. 3.3.  Шаблон оформления задачи

    Заносим числовую информацию из условия задачи (рис. 3.4). 

    

    Рис. 3.4.  Исходные данные задачи 

          В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых  частей неравенств) необходимо занести  формулы, отображающие связи и отношения между числами на рабочем листе.

          Ячейки B3 – С3 называются в Excel изменяемыми (в нашей модели это неизвестные переменные), т.е., изменяя их Поиск решения будет находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).

    Теперь  необходимо ввести формулы. В MS Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти скалярное произведение векторов. В ячейку Е3 необходимо вызвать  данную функцию, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это В4:С4) и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения искомых переменных (ячейки В3:С3) (рис. 3.5). 

    

    Рис. 3.5.  Вызов функции СУММПРОИЗВ 

    

    Рис. 3.6. 

          В ячейке, отведенной для  формулы левой части первого  ограничения (D8), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В8:С8 и адрес значений переменных В3:С3 (рис. 3.6).

          Используя кнопку F4, зафиксируем ячейки с искомыми переменными, что бы при копировании этой функции в две оставшиеся ячейки графы «Левая часть» получить аналогичные формулы.

    Важно! К моменту вызова сервиса Поиск решения на рабочем листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

    Далее в меню Сервис выбираем  функцию  Поиск решения. В появившемся окне задаём следующую информацию:

1. в качестве  целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции Е3;
2. «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в данном случае, оценка стоимости фирмы подлежит максимизации;
3. в качестве изменяемых ячеек заносится адреса ячеек значений переменных В3:С3;
4. справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения (рис. 3.7)

 

      если все ограничения одного  знака, то их можно занести  одной записью: в левой части  формы «Ссылка на ячейку» заносится адреса формул для левых частей ограничений D8:D10, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае, <=), в поле «Ограничение» заносятся ссылки на правую часть ограничений  F8:F10 (рис. 3.8). Нажимается кнопка «ОК». 

    

    Рис. 3.8. Занесение ограничений задачи

5. В разделе Параметры поставить флажок напротив Линейная модель и Неотрицательные значения.

          Таким образом, окно Поиск решения с занесенной информацией выглядит следующим образом (рис.3.9): 

    

    Рис.3.9. 

    Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после  чего появляется окно результата решения (рис.3.10). 

    

    Рис.3.10. Окно результата решения 

          Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В результате получено решение рассматриваемой задачи. (рис.3.11). 

    

    Рис. 3.11. Результат применения Поиска решения 

          Если в результате решения  задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения (рис.3.12), это означает, что или при  оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок» максимизации/минимизации и т.д.) или об отсутствии решения оптимизационной задачи. 

    

    Рис.3.12. Сообщение об ошибке 

    Итак, компанию не привлекает данная инвестиция, так как ее чистая приведенная стоимость отрицательна и равна -0,1 дол. на каждый вложенный доллар. Однако компания стремится получить заем, и для этого она все же вынуждена осуществлять проект. Таким образом, стоимость компании достигает максимума при х = 1, у = 0,4. Компания инвестирует капитал и получает в долг столько, сколько может.

    Однако  заметим, что ограничение х ≤ 0,8 +у не связано с оптимальным решением. Компания получает заемных средств на 200 000 дол. больше, чем ей необходимо для инвестиций (из третьего ограничения y = x-0.8 = 1-0.8 = 0.2, а по решению y = 0.4, следовательно, на 0.2 млн. $ больше). Поэтому у нее имеется 200 000 дол. для распределения в виде дивидендов.

    В этом примере фирма в лучшем случае может инвестировать 1 млн дол. и взять заем в размере 40% от  новых инвестиций. Источниками новых инвестиций должны служить имеющиеся денежные средства (0,8 млн дол.) или новые займы. Эти инвестиции сами по себе не являются привлекательными, (чистая приведенная стоимость равна  -0,1х дол.), однако фирма захочет их осуществить ради привлечения заемного капитала, поскольку налоговый щит, создаваемый вследствие этого займа, перекрывает чистый убыток приведенной стоимости новых инвестиций.

    Почему  оптимальное решение в данном случае требует осуществления проекта с отрицательной чистой приведенной стоимостью? Причина заключается в том, что внедрение проекта позволяет компании получить дополнительные заемные средства, и экономия на налоге на прибыль, возникающая вследствие выплаты процентов по долгу, превышает низкую отдачу самого проекта. (На самом деле оптимальное решение по-прежнему будет состоять в х = 1 и у = 0,4, пока проект приносит более чем —0,20 дол. на каждый инвестированный доллар. Если проект дает меньше, например, —0,30 дол., тогда решение равно х = у = 0.) Таким образом, ограничения кредитоемкости делают инвестиционные решения и решения по финансированию взаимозависимыми. И поэтому взаимозависимость между инвестиционными решениями и решениями по финансированию специально не вводилась.