Алгебраические системи

Тоді можливі випадки:

1)a>0 ˄b>0⇒ab>0;

2)a<0 ˄b<0⇒-a>0 ˄ -b>0⇒(-a)(-b)=ab>0;

3)a>0 ˄b<0⇒a>0˄-b>0⇒-ab>0⇒ab<0;

4)a<0 ˄b>0⇒-a>0 ˄ -b>0⇒-ab>0⇒ab<0.

Отже,з умови a≠0 і b≠0 випливає ab≠0 і дільники нуля   відсутні. Теорему  доведено.

Наслідок. Кільце з дільниками нуля не можна лінійно упорядкувати.

Теорема8. У лінійно упорядкованому кільці квадрат будь-якого відмінного від нуля елемента є додатнім елементом.

Доведення. Нехай (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце,a

.

Якщо a>0,то a²>0. Якщо a<0,то –a>0 і (-a)²=a²>0. Теорему доведено.

Наслідок. У лінійно упорядкованому кільці сума квадратів ненульових елементів  додатна.

Розглянемо приклад кільця,яке  можна лінійно і архімедівськи упорядкувати різними способами.

Приклад. Нехай М=.Тоді (М;+;- кільце. Позначимо:

 

 

Очевидно,що і кожна з множин та задовольняє умови критерію лінійного порядку в кільці і кожний з порядків є архімедовим.

Зауваження. Наведений приклад  можна узагальнити на випадок  чисел виду ,де ,які утворюють кільця та чисел виду ,де

,які утворюють поля. Проте  архімедівськи лінійно упорядкованих не комутативних тіл не існує,хоча неархімедівськи лінійно упорядковані не комутативні тіла існують.

2.3Дискретність і щільність  лінійно упорядкованих кілець.

Лінійно упорядковані кільця поділяються на два класи у  відповідності з наступними означеннями.

Означення. Нехай (K;+;>;0) – лінійно і строго упорядковане кільце,a,b,c і a>b>c. Елемент a називатимемо сусіднім зліва до елемента b,а елемент c- сусіднім справа до елемента b відносно порядку «>»,якщо в К не існує таких елементів x і y,які задовольняють відносно умови a>x>b та b>y>c.

Означення. Лінійно і строго упорядковане кільце (K;+;>;0) називається дискретним відносно порядку «>»,якщо кожний його елемент має лівий і правий сусідній елемент.

Означення. Лінійно і строго упорядковане кільце (K;+;>;0) називається щільним відносно порядку «>»,якщо виконується умова:

.

Теорема9. Для того,щоб лінійно і строго упорядковане кільце

(K;+;>;0) було дискретним,необхідно і достатньо,щоб множина його додатних елементів містила найменший елемент,а для того,щоб це кільце було щільним,необхідно і достатньо,щоб множина не містила найменшого елемента.

Доведення. При доведенні  використаємо наступне очевидне за критерієм  твердження,яке має місце у кожному лінійно упорядкованому кільці:    (a>b)⬄(-b>-a).

Достатність. Нехай множина  додатних елементів кільця К має найменший елемент m. Тоді –m буде найбільшим елементом множини всіх елементів,протилежних до додатних елементів (множини всіх відємних елементів кільця к). Справді,припустимо,що існує такий елемент

x,що 0>x>-m. Тоді m>-x>0,що суперечить вибору елемента m. Отже, -m найбільший елемент у множині.

Покажемо,що для довільного елемента елементи a-m і a+m є сусідніми до a. Справді,якщо припустити,що існує такий елемент с ,що a+m>c>a та m>c-a>0,що неможливо для m. Аналогічно доводиться,що a-m – сусідній елемент зліва до а. Цим доведено дискретність кільця

Припустимо,що множина  додатних елементів кільця К не має найменшого елемента. Візьмемо два довільних елемента ,для яких Тоді a-b та існує такий елемент с ,що a-b. Звідси a>b+c>b,тобто елемент а не має сусіднього справа,а елемент b – сусіднього зліва елемента. Отже,кільця К щільне.

Необхідність. Нехай кільце К дискретне. Якщо припустити,що його множина  не має найменшого елемента,то за доведеним вище кільця К буде щільним всупереч умові. Аналогічно розв’язується питання необхідності для щільного кільця. Теорему доведено.

Наслідок. Будь-яке лінійно  і строго впорядковане поле щільне.

Приклад.

1. Кільце (Z;+;>;0) цілих чисел дискретне;
2. Поле (Q;+;>;0;1) раціональних чисел щільне;
3. Нехай . Тоді (;+;>;0)- щільне кільце,але не поле,бо,наприклад , і для ,де ,завжди і .

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИСНОВОК

Отже,в результаті роботи ми сформулювали знання  про алгебраїчні  системи та їх ізоморфізми.

В результаті вивчення дізналися  означення та основні факти упорядкованих  півгруп,груп,півкілець,кілець і полів. Навчилися формулювати означення та наводити приклади упорядкованих алгебраїчних систем,зокрема,кілець і полів з архімедівським і неархімедівським порядком.

В результаті дослідження дійшли висновку,що упорядкована алгебраїчна система є складним математичним об’єктом,який одночасно наділений алгебраїчною структурою (півгрупи, групи, півкільця,кільця,поля тощо) і структурою упорядкованої множини,які між собою певним чином узгоджуються.

Витоки упорядкованих  алгебраїчних систем лежать в геометрії,алгебрі  та функціональному аналізі. Поняття  упорядкованої групи вперше виникло  в кінці 19-го століття у зв’язку  з питанням обґрунтування математики і,в першу чергу,при побудові аксіоматичної  теорії дійсних чисел у роботах  Р.Дедекінда.

У процесі розвитку абстрактної  теорії упорядкованих алгебраїчних систем було відкрито той факт,що існування  відношення порядку (особливо лінійного) в тій чи іншій алгебраїчній системі,узгодженого  з її алгебраїчними операціями,пов’язане  з чисто алгебраїчними властивостями  цієї системи.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Виавльнюк Л.М. Числові  системи.-К.: Вища школа. Головне вид-во,1977,-184с.

2.Вивальнюк Л.М.,Григоренко  В.К.,Левіщенко С.С. Числові системи. - К.:Вища школа. Головне вид-во,1988.-272 с.

3.Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы.-М.:Наука,1972.-200 с.

4. Лиман Ф.М. Числові системи: Навчальний посібник – Суми: Видавництво «МакДен», 2010. – 192 с.