Алгебраические системи

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………......2

РОЗДІЛ 1. АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ……………………………..4

1. Основні поняття алгебраїчних систем………………………...4
2. Групоїди,півгрупи,моноїди,групи………………………………………5
3. Означення і найпростіші властивості кілець і полів……….10

РОЗДІЛ 2.УПОРЯДКОВАНІ АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ…….. 14

2.1 Упорядковані півгрупи і групи………………………………14

2.2 Упорядковані півкільця,кільця,тіла і поля…………………16

2.3 Дискретність і щільність  лінійно упорядкованих кілець……21

ВИСНОВОК……………………………………………………….24

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Актуальність дослідження. Поняття упорядковані алгебраїчні системи має велике методичне і загальноосвітнє значення.

Розв'язування задач, в яких застосовуються поняття упорядкованих алгебраїчних систем, змушують перебирати в пам'яті всі відомі теореми і аксіоми з метою відбору і застосування найбільш придатної з них.

Об'єкт дослідження. Розділ алгебри – алгебра і її застосування на практиці.

Предметом дослідження є  упорядковані алгебраїчні системи.

Метою дослідження є теоретичне та практичне застосування поняття  упорядковані алгебраїчні системи та основні факти упорядкованих півгруп,груп,півкілець,кілець і полів.

Відповідно до поставленої  мети нам необхідно вирішити наступні завдання:

1. Дослідити наукову та  методичну літературу з обраної  теми курсової роботи.

2.Основні поняття алгебраїчних систем.

3.Формулювати означення та наводити приклади упорядкованих алгебраїчних систем,зокрема кілець і полів з архімедівським і неархімедівським порядком.

4.Означення та основні  факти упорядкованих півгруп,груп,півкілець,кілець і полів.

Теоретичне та практичне  значення. Матеріали даної курсової роботи можна використовувати у процесі викладання різних навчальних закладів.

 

   

 

 

РОЗДІЛ1.

АЛГЕБРАЇЧНІ СИСТЕМИ.

 

1.1Основні поняття алгебраїчних  систем.

Означення. Упорядкована множина

                                         (1)

називається алгебраїчною системою.

При цьому множина А  називається множиною-носієм алгебраїчної системи,а упорядкований набір (- сигнатурою алгебраїчної системи.

Запис (1) алгебраїчної системи * долі дещо спрощується до такого:  *=(А;                                            (2)

Зауваження. У багатьох випадках при записах алгебраїчних систем виділені елементи множини-носія системи  вказується окремо і тоді запис системи  в загальному випадку має вигляд:

*=(А;,       (3)            де- виділені елементи.

Якщо алгебраїчна система * не має відношень,крім тих,що є алгебраїчними операціями (в (2) m=0),то вона називається алгеброю,а якщо не має алгебраїчних операцій,то називається моделлю.

Зауваження. У сучасній математиці розглядаються і такі системи,що мають нескінченну кількість  елементів у множині,що є об’єднанням  множин алгебраїчних операцій і відношень  системи.

Такі алгебраїчні системи називаються алгебраїчними системами нескінченної сигнатури.

Означення. Дві алгебраїчні системи

*=(А;                                               (4)

=(;                                          (5)

називаються однотипними.

Отже,однотипні алгебраїчні  системи мають однакову кількість  алгебраїчних операцій і відношень,причому  відповідні операції і відношення мають  однакову парність.

Приклад. Алгебраїчні системи (N;+;>;1) і (Z;+;<;0)- однотипні,а системи (N;+;,(Z;+;<) не є однотипними (різнотипні).

Означення. Дві однотипні алгебраїчні системи * і   називаються ізоморфними,якщо існує взаємно однозначне відображення множини А на множину при якому виконуються умови:

1)     (6)

2)[((](7)

При цьому відображення називається ізоморфним або ізоморфізмом * і .

Однозначне відношення алгебраїчної системи * на алгебраїчну систему яке задовольняє умови (6) і (7) називається гомоморфізмом системи * на систему ,а самі системи при цьому називається гомоморфними.

Записи * і *≃ означають відповідно ізоморфізм та гомоморфізм алгебраїчних систем * і .

1.2 Групоїди,півгрупи,моноїди,групи.

Нехай G- деяка не порожня множина,на якій задана бінарна алгебраїчна операція «*».

Означення. Множина G,на якій задано бінарна алгебраїчна операція «*» називається гру поїдом.

Цей групо їд позначається (G;*).

Наприклад,(N;+)- групоїд натуральних чисел відносно додавання.

Означення. Групоїд (G;*) називається півгрупою,якщо операція «*» асоціативна:

 

Прикладами асоціативних групоїдів є групоїди (N;+),(N;,(Z;+). Отже,ці групоїди є півгрупами.

Приклад. Довести,що групоїд (R;*),де a*b=a+b-ab для довільних дійсних чисел,є півгрупою.

Розв’язання. Треба довести  рівність для довільних дійсних чисел За означенням операції «*» маємо:

a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc

(a*b)*c=(a+b-ab)*c=a+b-ab+c-(a+b-ab)=a+b+c-ab-ac-bc+abc

Отже, і (R;*)- півгрупа.

Зауваження. Наявність асоціативного  закону у півгрупі говорить про те,що дужки при виконанні операцій можна розставляти довільно або ж опускати їх зовсім і операцію виконувати послідовно,рухаючись у виразі зліва на право.

 Означення. Елемент е групоїда називається нейтральним,якщо він задовольняє умову: .

Якщо у групоїді операція «*» є додавання,то нейтральний елемент е називають нульовим елементом,а якщо операція «*» є множення - то е називають одиничним елементом.

Означення. Півгрупа (G;*) з нейтральним елементом називається коноїдом.

Приклад. Довести,що (Z;*) є коноїдом,якщо a*b=a+b-3 для довільних цілих чисел a і b.

Розв’язання. Безпосередньо  з означення випливає,що2*» є  бінарною алгебраїчною операцією на Z,причому асоціативною. Справді, (a*b)*c= (a+b-3)*c= a+b-3+c-3=a+(b+c-3)-3= a*(b*c).

Знайдемо нейтральний  елемент. Маємо .

Звідси - нейтральний елемент. Отже, (Z;*)-моноїд.

Теорема. Якщо групоїд (G;*) містить нейтральний елемент,то він лише один.

Доведення. Нехай - два нейтральні елементи групоїда (G;*). Тоді і теорему доведено.

Означення. Моноїд (G;*) з нейтральним елементом елементи якого задовольняють умову називається групою.

Елемент х,про який йдеться в означенні,називається симетричним до елемента а. При додаванні його називають протилежним,а при множенні-оберненим елементом до елемента а і позначають відповідно –а та а^-1.

Таким чином,аналізуючи наведені вище означення,можна дати означення  групи без використання понять групоїда,півгрупи і моноїда,що найчастіше і роблять в алгебрі.

Означення. Алгебраїчна система (G;*) називається групою,якщо:

1)

2)

3)

4)

Якщо крім аксіом 1)-4) виконується  аксіома

5)то група називається комутативною або абелевою.

Звертаємо увагу на запис  пункту 1). В ньому вираз читається так: «існує єдиний елемент множини ».

Якщо множина  нескінченна,то група (G;*) називається нескінченною;якщо множина G скінченна,то група (G;*) називається скінченною. Число елементів групи називається її порядком і позначається . Запис = означає,що група нескінченна,а запис означає,що група скінченна.

Зауваження. Якщо за текстом  зрозуміло,яка операція розглядається  у групі (G;*),то знак «*» опускається і говорять просто:група G.

Теорема. У групі (G;*) кожний елемент має лише один симетричний елемент.

Доведення. Нехай a*x₁=x₁*a=e і a*x₂=x₂*a=e.Тоді

x₁=x₁*e=x₁*(a*x₂)= (x₁*a)*x₂ =e*x₂= x₂.

Теорему доведено.

Означення. Алгебраїчна система (G;*) називається групою,якщо:

1)

2)

3) )

Групи з операцією додавання  називається адитивними,а з операцією  множення-мультиплікативними.

Добуток n елементів групи,кожен з яких дорівнює елементу а,називається n –м степенем елемента а і позначається аⁿ. Для нуля та цілих від’ємних чисел а⁰=е, аⁿ=( а^-n)^-1. При цьому очевидно,що

а^m аⁿ=a^m+n, (a^m)ⁿ=a^mn.

 Якщо a^k=e для деякого числа k,то виберемо серед усіх натуральних чисел з цією умовою найменше і позначимо його n. Тоді число n називається порядком елемента а і позначається . Якщо a^ke для будь-якого натурального числа k,то а називається елементом нескінченого порядку. При цьому записується .

Якщо порядки всіх елементів  групи скінченні,то група називається  періодичною. Якщо порядки всіх неодиничних  елементів групи скінченні,то група  називається групою без скруту. Група  називається мішаною,якщо вона містить  неодиничні елементи як скінченного  так і нескінченного порядків.

Приклад1.Алгебраїчні системи (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+) є нескінченними абелевими групами без скруту.

Приклад2. Алгебраїчні системи  (Q\{0},),(R\{0},),(C\{0},) є нескінченними мішаними абелевими групами.

Елементом порядку 2 в кожній з цих груп є число -1,бо (-1)²=1. Прикладом елемента нескінченного порядку в кожній з цих груп є число 0,3 бо (0,3)ⁿ≠1 для будь-якого числа n.

Алгебраїчна система (Z\{0},)- моноїд,але не група,бо якщо

Означення. Підмножина Н групи G називається підгрупою цієї групи,якщо Н є групою відносно операції,яка визначена в групі G.

Запис H<G означає,що Н- підгрупа групи G.

Теорема.(Критерій підгрупи). Підмножина Н мультиплікативної групи G тоді і тільки тоді є її підгрупою,коли Н замкнена відносно множення та взяття обернених елементів.

Доведення. Необхідність умов теореми очевидна. Доведемо їх достатність. Якщо Н містить добутки своїх  елементів та їх обернені елементи,то одиничний елемент е=а*а^-1,де а^{. Асоціативний закон для елементів множини Н виконується,бо Н- підмножина групи} G. Теорему доведено.

У випадку,коли група адитивна,критерієм  підгрупи буде замкненість підмножини відносно додавання та взяття протилежних  елементів.

У будь-якій групі G її підгрупами є сама група G та підмножина,що містить лише один нейтральний елемент. Всі інші підгрупи групи G,якщо вони існують,називаються нетривіальними підгрупами групи G. Нетривіальна або одинична підгрупа називається власною підгрупою.

Приклад підгрупи. Z<Q<R<C (операція «+»). Нехай m N,mZ=. Тоді mZ<Z (операція «+»).

Приклад. Нехай G- довільна мультиплікативна група. Візьмемо будь-який її елемент g і позначимо <g> множину всіх цілих степенів цього елемента,тобто <g>=.

Ця множина утворює  підгрупу. Її прийнято називати циклічною підгрупою,породженою елемента g. Не виключена можливістю того,що G=<g>.Тоді приходимо до такого означення.

Означення. Група G (мультиплікативна) називається циклічною групою,породженою елементом g,якщо будь-який елемент групи є цілим степенем елемента g. При цьому елемент g називають твірним елементом і записують G=<g>.

Будь-яка  циклічна група є абелевою,але не кожна абелева група є циклічною. Наприклад,(R\{0},- абелева група,але не циклічна.

1.3 Означення і найпростіші властивості кілець і полів.

Нехай К- деяка не порожня множина,на якій задано дві бінарні алгебраїчні операції:додавання «+» і множення «».

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається півкільцем,якщо:

1. півгрупою півкільця (К;+;);
2. (К;+-абелева підгрупа (вона називається адитивною (К;- групоїд;

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається кільцем,якщо:

 1)(К;+-абелева група (вона називається адитивною групою кільця (К;+;);

2) (К;- групоїд;

 3).

В застосуваннях теорії кілець досить часто розглядається кільця,в  яких аксіома 2) замінюється однією з більш сильних насткпних умов:

4)(К;-півгрупа;

5) (К;-комутативний групоїд;

6) (К;-комутативна підгрупа;

7) (К;-моноїд з одиницею е.

8) (К;-комутативний моноїд з одиницею е.