Алгебраические системи

В цих випадках матимемо відповідно означення асоціативного  кільця,комутативного кільця,асоціативного  і комутативного кільця,кільця з  одиницею,асоціативного і комутативного  кільця з одиницею.

З аксіоми 1) означення кільця випливає,що будь-яке кільце має  нульовий елемент (його позначаємо 0).

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається тілом,якщо:

1. (К;+;-кільце;
2. K\{0}(K\{0};- група.

Означення. Алгебраїчна система (К;+; називається полем,якщо:

1)(К;+;-кільце;

2)K\{0}(K\{0};- комутативна група.

Таким чином,поле-це комутативне  тіло.

Зауваження. 1)Якщо за текстом  зрозуміло,які операції розглядаються  в кільці  (К;+;,то знак операції опускається і говорять просто: кільце К.

2)Якщо (-b)- протилежний елемент до елемента b кільця К,то замість a+(-b) пишуть a-b.

Виходячи з означення  кільця,легко доводиться наступна теорема.

Теорема. Для-будь-якого кільця К і будь-яких елементів a,b,c мають місце властивості:

1)у кільці лише один  нульовий елемент;

2)кожний елемент кільця  має лише один протилежний  елемент;

3)0*a=a*0=0;

4)a(-b)=(-a)b=-ab;

5)(a-b)c=ac-bc˄c(a-b)=ca-cb.

Доведення. Властивості 1),2) випливають з того,що кільце є адитивною  групою.

3). Справді,враховуючи дистрибутивний  закон та властивості нуля,маємо  0*a=a(0+0)=0*а+0*а

Додамо до обох частин рівності -0*а і одержимо 0=0*а. Аналогічно доводиться рівність а*0=0.

4). З рівності ab+a(-b)=a(b+ (-b))=а*0=0 одержуємо a(-b)=-ab. Аналогічно одержуємо (-a)b=-ab.

5). Враховуючи 2) і означення різниці a-b маємо

(a-b)c=(a+(-b)c)=ac+(-b)c=ac+(-bc)=ac-bc.

Аналогічно одержуємо  рівність  c(a-b)=ca-cb. Теорему доведено.

Означення. Елементи a, b кільця К називається дільниками нуля,якщо a≠0,b≠0, але ab=0.При цьому кільце К називається кільцями з дільниками нуля.

Приклад. Будь-яке тіло Т (в тому число і поле) є областю цілісності.Справді,нехай a,bT,a Одержимо b=0,що суперечить умові. Отже,ab≠0 і твердження доведено.

Означення. Підмножина Н кільця К називається підкільцем кільця К,якщо вона є кільцем відносно операції,заданих у К.

Аналогічно означаються  підтіла і підполя.

З цього означення випливає,що підкільце кільця К є підгрупою його адитивної групи і підгрупоїдом його мультиплікативного групоїда. Зрозуміло також,що коли F-підкільце Н,а Н-підкільце К,то F-підкільце К.

Теорема(Критерій підкільця). Непорожня підмножина Н кільця К тоді і тільки тоді є його підкільцем,коли

.

Доведення. Необхідність умов теореми очевидна. Доведемо їх достатність. Для будь-яких елементів за умовою а-а=0,

0-а=-а ,а+b=(a-(-b)) .Закони додавання і множення,що виконується в к,матиме місце і для елементів з Н. Отже,Н є підкільцем кільця К. Теорему доведено.

Приклади підкілець є:

1)кільце mZ цілих чисел,кратних натуральному числу m-підкільце кільця цілих чисел Z. В свою чергу Z- підкільце кільця Z[],а останнє – підкільце поля Q[]. Поле Q є підполем поля R,а R – підполе C.

2)кільце функцій,неперервних  на відрізку [0,1], є підкільцем кільця функцій,неперервних на відрізку [a,b] ,де a

3)кільце квадратних матриць  порядку n з цілими елементами є підкільцем кільця матриць такого порядку з раціональними елементами,яке в свою чергу,є підкільцем кільця матриць n-го порядку з дійсними елементами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ2

Упорядковані  алгебраїчні системи.

 

 

Упорядкована алгебраїчна  система є складним математичним об’єктом,який одночасно наділений алгебраїчною структурою(півгрупи,групи,півкільця,кільця,поля тощо) і структурою упорядкованої множини,які між собою певним чином узгоджуються.

Витоки упорядкованих  алгебраїчних систем лежать в геометрії,алгебрі  та функціональному аналізі. Поняття  упорядкованої групи вперше виникло  в кінці 19-го століття у зв’язку  з питанням обґрунтування математики і,в першу чергу,при побудові аксіоматичної  теорії дійсних чисел у роботах  Р.Дедекінда.

У процесі розвитку абстрактної  теорії упорядкованих алгебраїчних систем було відкрито той факт,що існування  відношення порядку (особливо лінійного) в тій чи іншій алгебраїчній системі,узгодженого  з її алгебраїчними операціями,пов’язане  з чисто алгебраїчними властивостями  цієї системи. Це буде ілюструватися  уже в цьому розділі.

2.1Упорядковані півгрупи і групи.

Означення1.Алгебраїчна система ( називається упорядкованою півгрупою,якщо виконуються наступні умови(аксіоми):

1.-півгрупа;

2.-упорядкована множина;

3.-аксіома монотонності відношення «≻» відносно операції «*».

Якщо замість пункту 1 в означенні1 виконуються умова (аксіома)

1. -група,то система називається упорядкованою групою.

Якщо відношення «≻» є відношенням часткового (лінійного) порядку,то система відносно називається частково (лінійно) упорядкованою групою чи півгрупою.

Приклад.1)(N;+;>) строго лінійно упорядкована півгрупа;

2)( N;-нестрого лінійно упорядкована півгрупа;

3)(-строго лінійно упорядкована група;

4)система ({0,1};.;≻),де 00=0 є лінійно упорядкованою півгрупою. При цьому відношення порядку «≻» не є ні строгим ні нестрогим;

5)(N;-частково і не строго упорядкована півгрупа.

Означення2.Нехай -упорядкована півгрупа.Елемент g називають додатним (від’ємним),якщо ggg і gg≻g (відповідно

g≻ gg).

Теорема1. Нехай -лінійно і строго упорядкована півгрупа і нехай елемент g задовольняє умову ggg. Тоді елементи g,2g= =gg,3g= ggg,… всі різні і тому півгрупа нескінченна.

Доведення. Оскільки за умовою півгрупа є лінійно і строго упорядкована і g2g= gg,то або 2g≻g або g≻2g. Дослідимо перший випадок (другий випадок розглядається аналогічно). За аксіомою монотонності з умови 2g≻g випливає 2g*g≻g*g,тобто 3g≻2g≻g. Застосовуючи далі інструкцію по n легко одержуємо,що (n+1)g≻g для .

Далі інструкцією по k при довільному фіксованому m встановлюється істинність твердження .

Звідси для довільних  чисел m,n N з умови nm випливає,що ng≻mg. А оскільки G –строго і лінійно упорядкована  півгрупа,то з умови ng≻mg випливає ngmg.

Отже,якщо nm,то ngmg і півгрупа G містить нескінченну кількість елементів виду ng,де nі тому є нескінченною. Теорему доведено.

Наслідок. Лінійно і строго упорядкована група нескінченна.

Теорема2.Нехай -лінійно і строго упорядкована група з нейтральним елементом e. Елемент a додатний тоді і тільки тоді,коли .

Доведення. Нехай . Тоді за аксіомою монотонності

. З умови  випливає,що . Тоді з лінійності порядку має місце одна з двох умов: або . Якщо то ,що неможливо. Отже,і теорему доведено.

2.2Упорядковані півкільця,кільця,тіла  і поля.

Означення. Алгебраїчна система (K;+;>) називається упорядкованим півкільцем,якщо виконуються наступні умови(аксіоми):

1. (K;+;)-півкільце;
2. (K;>)- упорядкована множина;

В аксіомі 4)- не порожня множина додатних елементів. Нагадаємо,що елемент с додатний,якщо с+с ≠ с˄с+с

Упорядковане півкільце (K;+;>) називається упорядкованим кільцем (тілом,полем),якщо алгебра (K;+;) є кільцем (відповідно тілом,полем).

Означення. Нехай К=(K;+;>)- упорядковане півкільце (кільце,тіло,поле). Відношення «>» системи К називається архімедовим  порядком,а система К-архімедівськи упорядкованим півкільцем (кільцем,тілом,полем),якщо виконується умова (аксіома Архімеда):

                                          (1)

Якщо виконується заперечення  умови (1),тобто:

                                            (2)

то порядок називається  неархімедовим,а система К-неархімедівськи упорядкованою системою.

Приклад.

1)( N;+;>)- лінійно,строго і архімедівськи упорядковане півкільце;

2)Розглянемо кільце (Q[x];+; многочленівнад полем раціональних чисел. Введемо в ньому відношення порядку «≻» наступним образом: для двох многочленів

f(x)=,

g(x)=

вважаємо,що  f(x)≻g(x)

Легко перевірити,що відношення «≻» є відношенням строгого лінійного порядку на множині Q[x],яке є монотонним відносно операцій додавання і множення многочленів. Отже, (Q[x];+;- лінійно і строго упорядковане кільце. Проте аксіома Архімеда для нього не виконується. Наприклад,для двох многочленів f(x)=x²≻0 і g(x)=x+1≻0 і для будь-якого числа n маємо x²≻n(x+1);

3)система (Q[x];+;,де (Q[x];+;- поле раціональних дробів, а відношення «≻» задане так:   є неархімедівськи лінійно упорядкованим полем.

Далі розглянемо лише лінійно  упорядковані алгебри з двома  алгебраїчними операціями.

Теорема3. Нехай (K;+;>)- лінійно і строго упорядковане кільце. Тоді:

1)

2)

3)

Доведення. За аксіомою монотонності з умов випливає,що . Звідси за транзитивністю .

Далі при b=d=0,a>0 і c>0 одержимо,що a+c>0.

За аксіомою 4 означення  маємо: b=0: a>0 c>0⇒ ac>0˄ ca>0.

Нехай a>b. За аксіомою 3 означення маємо: a+(-b)>b+(-b),тобто a-b>0. Навпаки,якщо a-b>0,то (a-b)+b>0+b,a>b і теорему доведено.

Теорема4.(Критерій строгої і лінійної упорядкованості кільця).

Кільце К тоді і тільки тоді є строго лінійно упорядкованим  кільцем,коли для його елементів  означена властивість «бути додатним елементом»,яка задовольняє наступні умови:

1);

2)

3)

Доведення. Нехай (K;+;>)- лінійно і строго упорядковане кільце. Тоді виконання умови 10 критерію випливає зі зв’язності відношення «» та аксіоми №0 означення,а виконання умов 2) і 3) доведено в теоремі 4.

Навпаки,нехай виконується  умови 1)-3) теореми. Покажемо,що кільце К строго і лінійно упорядковане.

Для будь-яких елементів а,b

a-b>0∨ a-b=0 ∨ -a+b>0

Звідси за властивостями  кільця і умовою 3) a>b ∨ a=b∨ b>a.

Отже,відношення «>» є зв’язним.

Нехай a>bі b>c. Тоді a-b>0, b-c>0 і (a-b)+(b-c)=a-c>0 за умовою 2). Отже,відношення «>» є транзитивним.

Монотонність відношення «>» відносно операцій додавання і множення доводиться так:

a>b⇒ a-b>0⇒a-b=(a+c)-(b+c)>0⇒a+c>b+c;

(a>b˄c>0)⇒(a-b>0 ˄c>0)⇒ac-bc>0⇒ac>bc/

Антирефлексивність  і асиметричність відношення «>» випливає з того,що нуль кільця не може бути додатним елементом за означенням. Теорему доведено.

Зауваження. Множину додатних елементів кільця К позначають і називають додатною частиною кільця. Якщо така частина в кільці існує,то кільце можна лінійно і строго упорядкувати,якщо її немає,то не можна. Якщо таких додатних частин декілька,то і лінійний порядок можна ввести в кільці відповідним числом різних способів.

Теорема5.(Критерій однозначності строгого лінійного  порядку).

Нехай (K;+;0)- кільце,яке можна лінійно і строго упорядкувати хоча б одним способом і нехай - додатні частини двох порядків. Тоді ⬄

Доведення. Нехай  і Тоді і тому або і ,або і . У другому випадку і і тоді і ,що неможливо за означенням додатного елемента. Отже, і і тому і .

Якщо ,то очевидно,що . Теорему доведено.

У лінійно упорядкованих  кільцях можна розглядати модуль або абсолютне значення елемента за таким означенням.

Означення. (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце і a– довільний елемент К. Модулем (абсолютним значенням) елемента  a називається max {a,-a} і позначається .

Отже,= a,якщо a>- a і =- a, якщо - a> a. Але a>- a⬄a>0 і

-a>a⬄0>a. Тому

 

Приклад. В кільці (Q[x];+;,візьмемо f(x)=3x²-5x+6,

g(x)=-5x³+7x-8. Тоді f(x)≻0,g(x)≺0 і тому

 ,

Теорема6. Нехай (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце і a,b– довільні елементи К. Тоді:

2. a≠0;
3. ;

 Теорема7. У лінійно упорядкованому кільці немає дільників нуля.

Доведення. Нехай (K;+;>;0) – лінійно упорядковане кільце для деяких його елементів a та виконуються умова a≠0 і b≠0