Среди неоднородных производственных функций  наиболее часто используется квадратичная функция

    

,

а также  функция

    

называемая  функцией Солоу, или функцией Хилхорста. Достоинства этой производственной функции заключаются в том, что ее верификация позволяет проверить гипотезу об однородности. Если и оказываются близкими, эта гипотеза принимается, в противном случае — отвергается.

    Описываемые производственной функцией соотношения  носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучтенных в этом виде модели.

1.5 Моделирование научно-технического прогресса.

    Важнейшей проблемой использования производственных функций является учет в них фактора технического прогресса.

    Моделирование научно-технического прогресса развивается в двух направлениях:

    1) анализ динамики сквозных агрегатных  показателей, измеряющих

    экономический рост; 

    2) изучение процессов появления  и распространения нововведений.

    Анализ  динамики сквозных агрегатных показателей тесно связан с политэкономическими теориями и, в частности, с таким понятием, как производственная функция. В первой трети XX века экономистами было отмечено, что темп прироста производительности труда превышает темп роста фондовооруженности в среднем за период, близкий к продолжительности экономического цикла. С позиций теории факторов производства, когда рассматриваются два основных фактора — труд и капитал (иногда к ним добавляют третий — природный), объяснить такой рост экономики не удается. Поэтому был сделан вывод о существовании еще одного фактора, влияющего на экономический рост — технического прогресса.

    В соответствии с теорией австрийского экономиста Й. Шумпетера, считавшего, что изменение технологии происходит под воздействием внешних (по отношению к экономике) возмущений, на долю технического прогресса стали относить ту часть экономического роста, которую нельзя объяснить традиционно рассматриваемыми экономическими факторами. Так возникла идея измерения технического прогресса в виде «остатка», получившая широкое распространение. Эта идея была разработана с помощью аппарата производственных функций и послужила базой для построения многочисленных моделей технического прогресса. Начальные попытки состояли в изучении отношения выпуска к той его части, которая соответствовала «вкладу» труда   и капитала :

    

 

    Рост  этого отношения интерпретировался  как оценка результирующего «вклада» технического прогресса. В реальной экономике возможны разнообразные воздействия на динамику выпуска со стороны изменений в технологии. Так, технология, положительно влияющая на темпы роста в данный момент, может в дальнейшем стать тормозом для роста. И наоборот, технология, требующая в  данный момент значительных расходов, может стать через какое-то время

прогрессивной и производительной.

    Производственные  функции стали средством адекватного  представления

роли  технического прогресса и способов его измерения. Интерпретировать результаты развития экономики было удобнее в темповых характеристиках. Если переменные производственной функции типа Кобба-Дугласа считать зависящими от времени, то ее легко преобразовать в линейное соотношение между темпами прироста:

,

где , — темпы прироста.

    В 1939 году голландский экономист Я. Тинберген предложил учитывать  время в производственной функции  типа Кобба-Дугласа:

    

    «Остаток», который рассматривался западными экономистами еще до Тинбергена, получил удобное выражение. Концепция Шумпетера была формализована, а соотношение между темпами приобрело вид:

    

    Производственная  функция, для которой  = 0,25, = 0,75, интерпретируется следующим образом:

    • увеличение на 1% основных фондов (основного  капитала) ведет к приросту (при фиксированной численности занятых) на 0,25%;

    • увеличение на 1% численности занятых  вызывает соответственно прирост выпуска на 0,75%.

    Когда технический прогресс вводится в  производственную функцию с помощью множителя, не зависящего от рассматриваемых в ней факторов, говорят о нейтральном техническом прогрессе.

Однако  отделить, например, в производственной функции типа Кобба-Дугласа у.), нейтральный технический прогресс, выражаемый параметром у, от так называемой экономии на масштабах производства с помощью экономических процедур практически невозможно.

При моделировании  технического прогресса отдельно оценивают производственную функцию для различных периодов (возможно и небольших). В этом случае пользуются понятием технологических сдвигов. Так, если для производственной функции Кобба-Дугласа, соответствующей более позднему периоду, отношение увеличилось по сравнению с его значением в предыдущем периоде, то говорят о капиталоинтенсивном сдвиге в технологии. В противном случае имеет место трудоинтенсивный сдвиг.

Известны  многочисленные попытки усовершенствовать модельные представления о техническом прогрессе, порождаемые производственными функциями. В частности, введение в модель параметра «срок службы основного капитала» позволило отразить зависимость производительности основных фондов от времени, учесть не только физический, но и моральный износ оборудования.

    Применяя  модели технического прогресса с  производственными

функциями, следует учитывать жесткость  предположений, на которых они основаны. Интерпретация результатов, полученных с помощью этих моделей, является решающим этапом исследования. Даже небольшие несоответствия в интерпретации способны породить неадекватные выводы. Чаще всего такие модели применяют при анализе народно-хозяйственной ретроспективы. Однако, сравнивая различные периоды, не следует делать выводы о том, что при более высоких уровнях у (т. е. при более высокой доле интенсивных факторов роста) экономика страны развивалась лучше, т. к.:

    1) агрегатные показатели, используемые  в производственных функциях, не  адекватны приписываемому им  в соответствующих моделях смыслу;

    2) гипотеза о разделении воздействия  на выпуск экстенсивных и интенсивных факторов — абстракция, использование которой допустимо только в тех случаях, когда это оправданно;

    3) нет оснований утверждать, что  более высокие темпы роста экономики всегда предпочтительнее. В частности, постоянное стремление к поддержанию более высоких темпов сдерживает структурные преобразования и противодействует таким важным составляющим технического прогресса как переход к использованию принципиально новых видов ресурсов и удовлетворение экологических требований;

    4) введение технического прогресса  в качестве невоспроизводимого  фактора практически исключает использование соответствующих моделей для анализа альтернативных стратегий развития народного хозяйства. Тем самым эти модели оказываются непригодными для решения именно тех задач, которые стимулировали развитие макроэкономического моделирования.

    Возможность воздействия на научно-технический  прогресс с помощью  нормативных коэффициентов  эффективности капитальных вложений рассматривается с трех точек зрения:

    1) установления общего для всей  экономики страны норматива эффективности, определяя его из моделей, содержащих производственную функцию с техническим прогрессом;

    2) введения норматива для различных отраслей, поскольку каждая из них выполняет в народном хозяйстве свою содержательную функцию и потому установление общего норматива невозможно;

    3) анализа эффективности или, точнее, результативности в рамках отдельных проектов и решений с преобладанием аргументов содержательного, главным образом технологического характера.

     При интерпретации модельных расчетов приоритет отдается аспектам содержательного характера.

1.6 Методы определения параметров производственных функций.

    На  практике применяются  три основных метода определения параметров макроэкономических производственных функций:

    1) на основе обработки рядов  динамики (временных рядов);

    2) на основе данных о структурных  элементах агрегатов;

    3) на основе данных о распределении  национального дохода (распределительный метод).

    При построении производственных функций  необходимо избавляться от явлений  мультиколлинеарности параметров и  автокорреляции — в противном случае неизбежны грубые ошибки.

    Рассмотрим  наиболее часто встречающиеся аналитические  представления производственных функций.

    Линейная  производственная функция:

    

,

где — оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства

замещаемы в любых пропорциях.

    Функция Кобба-Дугласа основывается на предположении о понижающейся

предельной  отдаче ресурсов, постоянстве коэффициентов  эластичности производств по затратам ресурсов. Предельный эффект затрат связан с дополнительным экономическим эффектом (доход, прибыль), вызываемый дополнительной затратой единицы одного ресурса при неизменной величине остальных, т. е. это предел соотношения прироста результата и затрат, которые его вызвали, т. е. частная производная результирующей функции по данному аргументу:

,

где — предельный эффект использования ресурса ; — функция

полезности (под функцией полезности можно понимать функцию эффективности); — объем использования ресурса .

    Эластичность  замещения ресурсов в любой точке  кривой Кобба-Дугласа равна единице. Хотя данную функцию нельзя отнести  к линейным, значения параметров , , можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов. Для этого ее приводят к линейному виду, прологарифмировав обе части уравнения (обычно используются натуральные логарифмы):

    

    Модификация функции, учитывающей технический прогресс, достигается введением дополнительного сомножителя , где - темп технического прогресса (константа).

    Из  гипотезы о том, что эластичности замещения между всеми факторами постоянны, выводится CES-функция:

    

    В этом случае эластичность замещения  ресурсов не зависит ни от , ни от и, следовательно, постоянна

    

 

    Отсюда  и происходит название функции. Функция  CES, как и функция Кобба-Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, замены труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя она и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа, логарифмирование функции CES не приводит к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа.

    Функция VES (один из вариантов):

    

    Здесь эластичность замещения принимает  различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда , откуда и происходит название функции [15].

Пример  выполнения лабораторной работы

Построение  производственной функции  Кобба – Дугласа

Определить  параметры ПФКД по заданным значениям  затрат труда и основных фондов и выпуска продукции.