5. , т.е. эффективность затрат любого из ресурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизменном количестве остальных, не снижается;

    6. — строго квазивогнута;

    7. — вогнута (выпукла вверх).

      Это более жесткая формулировка принципа убывающей отдачи последовательных вложений, из которой, в частности, следует свойство 4;

    8. — однородна степени , т.е.

    

При с увеличением масштабов производства его эффективность растет (растущая отдача или экономия от масштаба), при — падает (падающая отдача или потери от масштаба, при — не меняется. В одних случаях значение оценивается статистически, в других на него накладываются априорные

ограничения. В подавляющем большинстве малоразмерных моделей экономического роста предполагается, что .

Однако  не все производственные функции  и не при всех значениях входящих в них переменных обладают перечисленными свойствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они наиболее «естественны». Часто требуется, чтобы производственная функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при

«экономически осмысленных» или реально достижимых значениях переменных. Множество таких значений называют экономической областью.

    Иногда  требуется, чтобы производственная функция, помимо указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, довольно часто, например, используется так называемые асимптотические условия. Состоит оно в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении любого из аргументов, например, для случая двухфакторной макроэкономической производственной функции.

    Однородную  производственную функцию  произвольной степени

часто называют неоклассической, если она имеет:

• положительные  первые частные производные;

• отрицательные  вторые частные производные;

• положительные  вторые смешанные производные по всем факторам производства.

    Производственная  функция позволяет рассчитать ряд  важных характеристик:

    1) предельная производительность (предельный продукт) фактора j,   . Данный показатель показывает, насколько увеличивается выпуск при увеличении затрат фактора j на одну единицу, при неизменном количестве остальных факторов;

    2) частная эластичность выпуска  по фактору j (частная факторная эластичность), . Показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении затрат фактора j на 1% и при неизменном количестве остальных факторов. Частная эластичность представляет отношение предельной производительности к средней;

    3) эластичность производства

    

Эластичность  производства показывает, на сколько  процентов увеличится выпуск при увеличении на 1% затрат каждого фактора. Этот показатель является локальной характеристикой эффекта масштаба производства. Очевидно, что

    

    4) предельная норма замены (замещения)  фактора j фактором i.

Этот  показатель определяет количество фактора  j , которое требуется для замены одной единицы фактора j при сохранении на неизменном уровне объема выпуска и количества остальных факторов.

Обычно  обозначается  и, по определению, равна:

      при 

    Очевидно, что 

    5) эластичность замены (замещения)  фактора j фактором i. Наряду с предельной нормой замещения этот показатель характеризует возможности замены одного фактора другим. В простейшем случае определяется как

     при

    Существует  и ряд других определений эластичности замещения для многофакторных производственных функций. Все существующие определения эквивалентны только для двухфакторных линейно-однородных производственных функций. В этом случае все они приводят к формуле:

    

    С помощью производственных функций изучается взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть неизменной либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов).

    Соответственно, функции делят  на два вида:

    - с постоянной эластичностью замены (CES — Constant Elasticity of Substitution);

    - с переменной эластичностью замены (VES — Variable Elasticity of Substitution).

1.4 Основные формы представления производственных функций.

    В настоящее время математиками-аналитиками предложено множество конкретных производственных функций.  

    Чаще  всего используются следующие:

    1) линейная  ;

    2) леонтьевская 

    3) Кобба-Дугласа ;

    4) с постоянной эластичностью замещения. В простейшем варианте эта функция имеет вид:

    

    Наиболее  популярной и в теоретических, и  в прикладных исследованиях

является  функция Кобба-Дугласа: она сочетает простоту математической записи, очевидную экономическую интерпретацию и относительную легкость определения численных значений ее параметров. Особенность этой мультипликативно-степенной формы производственной функции состоит в том, что если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается также в нуль. Это

свойство  соответствует тому факту, что в большинстве случаев для производства необходимы все факторы и при отсутствии одного из них выпуск продукции невозможен. Например, даже в самом автоматизированном производстве нельзя обойтись без cоответствующего персонала. В самой общей форме (форма называется канонической) мультипликативно-степенная функция записывается в следующем виде:

      или 

    Коэффициент A учитывает размерность, которая, в свою очередь, зависит от выбранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (т. е. выпуск продукции). Например, в производственной функции, которая применяется для изучения экономики в

целом, в качестве результативного показателя можно принять объем конечного продукта, а в качестве сомножителей — основные факторы производства:

    • численность занятого населения ;

    • величину основного и оборотного капитала ;

    • площадь используемой земли ;

С помощью  функции Кобба-Дугласа была сделана  попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30 годов XX века:

    

где N — национальный доход; А — коэффициент размерности; и К — соответственно объемы приложенного труда и капитала; , — коэффициенты эластичности производства по труду L и капиталу К. Функция Кобба-Дугласа используется для описания объема производства в зависимости от числа занятых (наряду с капиталом):

    

где Y — объем производства; К — величина капитала; L — численность занятых; с — постоянный параметр производительности; а — коэффициент эластичности производства по отношению к величине капитала; b — коэффициент эластичности производства по отношению к численности занятых. Сумма коэффициентов эластичности а + b характеризует эффект масштаба производства:

    • возрастающий, если а + b > 1;

    • постоянный, если а + b=1;

    • убывающий, если а + b < 1.

    Хотя  сумма а + b может принимать любые значения, чаще всего предполагается неизменный масштаб производства. В связи с этим предположением, один параметр определяется через другой:

b = 1 - а. В «классической» производственной функции Кобба-Дугласа = 0,33, = 0,67.

Среди моделей, характеризующих влияние  демографического фактора на экономическое развитие, выделяются динамические модели, основанные на предположении, что технологические изменения влияют на объем производства непосредственно (модель Р. Солоу):

где t — календарный год;  — постоянный темп технического развития.

Второй метод учета технического развития предполагает изменение влияния отдельных факторов производства, которое моделируется с помощью динамического изменения коэффициентов эластичности (модель М. Брауна):

Третий  метод основан на том, что техническое развитие приводит к качественному изменению внутри факторов производства (модель В. Солоу):

где индекс * отражает качественные изменения  в физическом или человеческом капитале.

    Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты  соответствующего ресурса увеличить на один процент). Эти параметры являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, то это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше (или меньше) единицы. Это показывает, что увеличение затрат к непропорционально большему (или непропорционально меньшему) росту выпуска (эффект от масштаба производства).

    В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции.

    Например, в двухфакторном случае:

     , где множитель A(t) — обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности факторов производства в динамике.

    Дальнейшая  адаптация производственной функции может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

    Наиболее  гибкой и содержательной считается CES-функция, частным случаем которой являются функции Кобба-Дугласа, однако в общем случае оценка ее параметров затруднена.

    Примеры других производственных функций приводятся для случая двух факторов Y =f(K, L), где К — капитал, a L — объемы приложенного труда (затраты живого труда). Значительное число производственных функций получены в результате комбинации различных вариантов приведенных выше четырех функций. Среди них:

1) функция  с линейной эластичностью замещения

    

Эта функция  выводится из предположения, что  эластичность замещения линейно зависит от фондовооруженности. Для этой производственной функции эластичность замены (замещения) фактора К фактором L равна

;

2) многорежимная  функция

    

Эта функция  выводится из предположения, что  эластичности выпуска по ресурсам представляют - уровневые ступенчатые функции фондовооруженности (для эластичности по капиталу — убывающую, для эластичности по труду — возрастающую).