Подставляя (16) в (9), получим показатель эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Лапласа относительно выигрышей 

         = . (17) 

  Стратегия P = ( p₁ , ..., p_n ) будет оптимальной среди всех смешанных стратегий множества S_A по критерию Лапласа относительно выигрышей, если она максимизирует показатель эффективности (17).

  Оптимальная среди чистых стратегия А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий.

  1.6 Критерий Лапласа относительно рисков

  Критерий Байеса относительно рисков при равновероятных состояниях природы, q₁ = .. .=q_n = , превращается в критерий Лапласа относительно рисков. Тогда величина , получающаяся из (11) при q_j = , j=1, …, n, или более простая величина представляет собой показатель неэффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно рисков. Следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков является стратегия А_i0, показатель неэффективности которой минимален. Подставляя в (14) значения q_j = , j=1, …, n, получим показатель неэффективности смешанной стратегии Р по критерию Лапласа относительно рисков, вместо которого можно рассматривать более простую величину = . Стратегия Р, для которой показатель принимает минимальное значение, является оптимальной среди всех стратегий множества S_A. Чистая стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков, оптимальна по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

  Критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны.

  1.7 Критерий относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей (рисков)

    В практике принятия решений часто встречается случай, когда нам неизвестны вероятности состояний природы, но мы имеем представление о том, какие состояния природы более правдоподобны, какие менее правдоподобны, а какие равноправдоподобны. Поэтому мы можем расположить (неизвестные) вероятности состояний природы в виде убывающей или возрастающей последовательности. Для простоты предположим, что расположение q₁, ..., q_n уже и есть монотонная последовательность. Если, например, эта последовательность строго убывает, то правдоподобнее всех состояние П₁ затем по степени правдоподобности следует состояние П₂, и т. д., наименьшей правдоподобностью обладает состояние П_n. Не зная, на сколько одна вероятность состояния природы отличается от другой, мы можем предположительно придать им относительные значения, пропорциональные членам некоторой (подходящей на наш взгляд) монотонной последовательности положительных чисел τ₁, ..., τ_n, т.е. 

        q₁ : q₂ : q₃ : ... : q_n = τ₁ : τ₂ : τ₃ : ... : τ_n . (18) 

  Из (18) следует, что если q₁ , ..., q_n убывающая, соответственно возрастающая, последовательность, то убывающей, соответственно возрастающей, является и последовательность τ₁ , ..., τ_n.

При этом следует учитывать нормировочное равенство 

         =1 (19) 

  Вероятность j-ого столбца определяется по формуле: 

        q_j = , j=1, …, n (20) 

  Из (20) и (19) получим: 

        1 = = = . (21) 

  Из (21) выразим  q₁ вероятность возникновения состояния природы П₁: 

        q₁ = . (21) 

  Тогда: 

        q_j = . (22) 

  Мы нашли значения вероятностей q_j, j=1, …, n, состояний природы.

  Критерий Байеса относительно выигрышей при вероятностях состояний природы назовем критерием относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей. При этом критерии показателем эффективности стратегии А_i является величина ā_i, получающаяся из равенства (6) подстановкой в него вероятностей (22): 

        ā_i = , i=1, …, m. (23) 

  Так как множитель     не зависит от номера i,то в качестве показателя эффективности стратегии А_i вместо величины (23) можно рассматривать величину: 

        ā_i = , i=1, …, m. (23) 

  Оптимальной среди чистых стратегий по рассматриваемому критерию является стратегия с максимальным показателем эффективности (23).

  Критерий Байеса относительно рисков при вероятностях состояний природы назовем критерием относительных значений вероятностей состояний природы с учетом рисков. При этом показатель неэффективности стратегии подсчитывается по формуле (6), вероятности q₁ , ..., q_n в которой представлены формулой (2.20.31): 

    ṝ_i = , i=1, …, m. (24) 

  Оптимальной среди чистых стратегий по обсуждаемому критерию является стратегия с минимальным показателем неэффективности (24). 

 

2 Алгоритмическое обеспечение

  Выбор алгоритма решения задачи зависит  от поставленных условий. Если вероятность  состояний природы не определена и события равновероятны, то следует остановиться на критерии Лапласа. Если вероятность состояний природы не определена, но события имеют различную вероятность, то следует выбрать критерий относительных значений вероятностей состояний природы. В противном случае следует использовать критерий Байеса. Если исходными данными является платежная матрица, то для решения будут использоваться критерии относительно выигрышей, и критерии относительно рисков для матрицы рисков.

  Проиллюстрируем алгоритм принятия решения в условиях риска на конкретном примере с использованием Excel. Для демонстрации всех критериев будем использовать платежную матрицу без заданной вероятности. Рассмотрим 2 случая: события имеют одинаковую вероятность и отличную друг от друга. На основе матрицы выигрышей построим матрицу рисков.

  Рассмотрим игру с природой где игрок имеет 7 (m=7) чистых стратегий A₁ , A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, природа П может находиться в одном из четырех (n=5) состояний П₁, П₂, П₃, П₄, П₅. Статистик оценил последствия применения каждой из своих чистых стратегий A_i, в зависимости от состояний П_j природы, результаты представлены в платежной матрице 7×5 (таблица 3).  

  Таблица 3 – Платежная матрица

 

  Упрощение матрицы. У игрока А нет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, следовательно, нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность. Стратегия А₂ доминирует стратегию А₇ и потому стратегию А₇ можно отбросить; стратегии А₂ и А₆ дублирующие, следовательно, одну из них, например А₆, можно удалить. В результате получим матрицу (таблица 3) размерности 5x5: 

  Таблица 4 – Упрощенная платежная матрица

 

  Критерий  Лапласа относительно выигрышей. Вероятности q₁ , q₂, q₃, q₄, q₅ состояний природы равны между собой и имеют значение q_j = 0,2.

  Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей рассчитывается для i-й строки по формуле (16): 

  ā₁ =

= 0,2*(5+6+4+3+4) = 4,4;

  ā₂ = 4,2;

  ā₃ = 3,4;

  ā₄ = 3,2;

  ā₅ = 4,6. 

  Как видно из полученных результатов оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей является ā₅₀ = 4.6, т.к. значение ее максимально.

  Критерий  Лапласа относительно рисков. Построим на основе матрица выигрышей матрицу рисков, для этого дополним таблицу 4 строкой значений показателей благоприятности β_j (1): 

  Таблица 5 – Показатели благоприятности