Принятие решений в условиях риска

  В понятии оптимальной стратегии лежат различные соображения, составляющие содержание соответствующих критериев оптимальности стратегий.

  Перед тем как переходить к выбору оптимальной стратегии, целесообразно возможности упростить матрицу А, уменьшив число строк на основании принципа доминирования стратегий игрока А.

1.2 Упрощение матрицы игры

  Если какая-нибудь из стратегий игрока А окажется доминирующей каждую из остальных его стратегий, то она и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его выигрыш при этой стратегии и при любом состоянии природы П не меньше выигрыша при любой из остальных стратегий.

  Если же матрица игры не обладает указанным свойством, т.е. у игрока А нет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, то нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность.

  Таким образом, в играх с природой можно и полезно пользоваться принципом доминирования стратегий игрока А (строк матрицы игры). Однако принцип доминирования стратегий (состояний) природы (столбцов матрицы игры) недопустим, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью по возможности большего уменьшения выигрышей игрока А, для нее нет более или менее эффективных состояний.

  1.3 Критерий Байеса  относительно выигрышей

  Предположим, что статистик из прошлого опыта известны не только состояния П_j, j = l, ..., п, в которых может находиться природа П, но и соответствующие вероятности q₁ , ..., q_n с которым природа П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

  Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрыша i-й строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Обозначая это среднее значение через ā_i, будем иметь: 

        ā_i = q₁ a_i1 + q₂ a_i2 + … + q_n a_in = , i=1, …, m. (6) 

  Таким образом, a_t представляет собой взвешенное среднее выигрышей i-й строки, взятых с весами q₁ , ..., q_n.

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия А_i0 с максимальным показателем эффективности, т.е. с максимальным средним выигрышем: 

           ā_i0 = max ā_i. (7)

          ^{1≤ i ≤m} 

  Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

  Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока П.

  Пусть P = ( p₁ , ..., p_n ) - некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой чистая стратегия А_i используется им с вероятностью p_i, i=1, ..., т. Тогда выигрыш игрока А при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j будет равен

        H (P, П_j) = , j=1, …, n. (8) 

  Показателем эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей назовем среднее значение выигрышей, с учетом вероятностей q₁ , ..., q_n состояний природы. Обозначим этот показатель через .

  Получим: 

         = = = = . (9) 

  Таким образом показатель эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей эффективности чистых стратегий А_i, i = l, ..., m, по тому же критерию с весами p_i, i = l, ..., m.

  Если, в частности, стратегия P = ( p₁ , ..., p_n ) является чистой стратегией А_k, k = l, ..., m, то p_i = 0  i ≠ k, p_k = 1, и ее показатель эффективности как смешанной стратегии , превращается в ее показатель эффективности как чистой стратегии ā_k, вычисляемый по формуле (6).

  Пусть S_A - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A. Оптимальной среди всех стратегий множества S_A по критерию Байеса относительно выигрышей назовем стратегию P⁰, показатель эффективности (9) которой максимален: 

        max = . (10)

        ^{P ϵ Sa} 

  Стратегия А_i0 оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

  При принятии решений в условиях риска по критерию Байеса относительно выигрышей можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные.

  1.4 Критерий Байеса относительно рисков

  Рассмотрим ту же игру с природой матрицей, в которой известны вероятности состояний природы q₁ , ..., q_n. При принятии решений в условиях риска можно пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками. Составим матрицу рисков для матрицы A, используя формулу рисков (3) 

  Таблица 3 – Матрица рисков

 

   Показателем неэффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно рисков называется среднее значение, или математическое ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 3), вероятности которых, очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим средний риск при стратегии А_i через ṝ_i, тогда 

    ṝ_i = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + … + q_n r_in = , i=1, …, m. (11) 

  является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 3) с весами p_i, i=1, ..., т.

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия П_j, показатель неэффективности (11) которой минимален, т.е. минимален средний риск 

      ṝ_i0 = min ṝ_i. (12)

        ^{1≤ i ≤m} 

  Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной стратегии и при состоянии природы П_j, j = l, ..., п, как разность 

        r (P, П_j) = [max H (U, П_j)] - H (P, П_j), j=1, …, n. (13)

          ^{U ϵ Sa} 

  между максимальным выигрышем max H (U, П_j) при всех смешанных стратегиях U = ( u₁ , ..., u_n ) ϵ S_A и при состоянии природы П_j и выигрышем H (P, П_j) при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j.

  В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную среднюю рисков (13) с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q₁ , ..., q_n состояний природы: 

         = . (14) 

  Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P⁰, показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (14), минимален:

        min = . (15)

        ^{P ϵ Sa}

  Если А_i0 - стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков, то она является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

  При принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно рисков так же как и в случае критерия Байеса относительно выигрышей достаточно использовать одни чистые стратегии, не рассматривая смешанные.

  Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, т.е. если стратегия А_i0 является оптимальной по критерию Байеса относительно выигрышей, то она является оптимальной и по критерию Байеса относительно рисков, и наоборот, стратегия А_i0, оптимальная по критерию Байеса относительно рисков, оптимальна и по критерию Байеса относительно выигрышей.

  1.5 Критерий Лапласа относительно выигрышей

  В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности q₁ , ..., q_n состояний природы могли быть получены из статистических данных, отражающих многократное решение подобных задач, или в результате наблюдений за поведением природы. Однако, довольно часто складывается такая ситуация, когда мы лишены возможности определить вероятности состояний природы указанными способами. Желая все же принять решение в условиях риска, мы вынуждены оценить вероятности состояний природы субъективно. Существуют различные методы численной субъективной оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из них состоит в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний природы, и потому считаем их равновероятными, т.е. q₁ = .. .=q_n = . Этот принцип называется «принципом недостаточного основания» Лапласа. На нем основан критерий Лапласа относительно выигрышей.

  Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-й строки:

        ā_i = , i=1, …, m. (16) 

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия А_i0 показатель эффективности, кот-

орой, вычисляемый по формуле (16), максимален, т.е. ā_i0 = max ā_i.

        ^{1≤ i ≤m}

  Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относительно выигрышей при q₁ = .. .=q_n = . Поэтому все утверждения на счет критерия Байеса относительно выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно выигрышей.