Построение моделей временных рядов

R² = RSS/TSS = 0,7235, следовательно, данная модель тренда объясняет 72,34% вариации среднемесячных удоев молока за последние 5 лет.  

Проверим  на значимость параметры  модели.

H₀ : θ_i =  0 – параметр не значим;

H₁ : θ_i ≠ 0.

t= - статистика Стьюдента;

S² = - оценка дисперсии ошибок, где e_i = Т_i - _i;

 – оценка дисперсии оценки, где - элемент главной диагонали матрицы (X^TX)^-1. 

_{S² = 145623360,70/52 = 2800449,244}

= 2800449,244*0,5967 = 1671061,15

= =1292,69

t = 7029,97 / 1292,69 = 5,438

t_кр(0,05;52)=2,00

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₀ в данном уравнении регрессии является значимым. 

= 2800449,244*5,33 = 14927190,66

= =3863,57

t = 31151,32/3863,57=8,063

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₁ в данном уравнении регрессии является значимым. 

= 2800449,244*6,077 = 17018504

= =4125,35

t = -17141,69/ 4123,35= -4,155

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₂ в данном уравнении регрессии является значимым. 

Проверим  значимость модели по критерию Фишера.

- уравнение не значимое

Статистика  Фишера:

F =  (0,7235/ 1 – 0,7235) * (52/2) = 68,03

F_кр(2, 52) = 3,2

F > F_кр(2, 52), то гипотеза отвергается, и уравнение является значимым. 

Преобразуем данную модель к модели вида  

= (X^TX)^-1 X^T Y, где

Y=,   X = ,    t₁ = _,    t₂ =

₌ 35714,47

₌ 251132,01

₌ -267257,62 

ESS = 152050307,12

RSS = = 374606450,59

TSS = 526656757,72 
 

R² = RSS/TSS = 0,7113, следовательно, данная модель тренда объясняет 71,13% вариации среднемесячных удоев молока за последние 5 лет.  

Проверим  на значимость параметры  модели.

H₀ : θ_i =  0 – параметр не значим;

H₁ : θ_i ≠ 0.

t= - статистика Стьюдента;

S² = - оценка дисперсии ошибок, где e_i = Т_i - _i;

 – оценка дисперсии оценки, где - элемент главной диагонали матрицы (X^TX)^-1. 

_{S² = 152050307,12/52 = 2924044,36}

= 2924044,36*8,244 = 24105156,03

= =4909,7

t = 35714,47 / 4909,7 = 7,2743

t_кр(0,05;52)=2,00

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₀ в данном уравнении регрессии является значимым. 

= 2924044,36*322,42 = 942773721,9

= =30704,62

t = 251132,01/30704,62=8,179

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₁ в данном уравнении регрессии является значимым. 

= 2924044,36*406,69= 1189187744

= =34484,60

t = -267257,62/ 34484,60= -7,75

|t| > t_кр(0,05;52) следовательно, гипотеза отвергается, то есть параметр q₂ в данном уравнении регрессии является значимым. 

Проверим  значимость модели по критерию Фишера.

- уравнение не значимое

Статистика  Фишера:

F =  (0,7113/ 1 – 0,7113) * (52/2) = 64,056

F_кр(2, 52) = 3,2

F > F_кр(2, 52), то гипотеза отвергается, и уравнение является значимым. 
 

По результатам  проведенного анализа в качестве наилучших моделей были выбраны: Модель 3: При проверке уравнения модели по критерию Стьюдента, значимым оказались параметры - и , и - незначимы, уравнение по статистике Фишера значимо, R²=0,4768

Модель 4: Все неизвестные параметры уравнения при проверке по критерию Стьюдента оказались значимыми, уравнение по статистике Фишера значимо, R²=0,7235

Модель 5: Все неизвестные параметры уравнения при проверке по критерию Стьюдента оказались значимыми, уравнение по статистике Фишера значимо; R²=0,7113. 

 

2.  

 

Из трех представленных моделей наилучшей является модель вида   т.к. все ее параметры являются значимыми, сама модель значима и объясняет 72,35% (наибольший процент) вариации среднемесячных удоев молока. 

Проверим остатки  на автокорреляцию.

Выдвигаем гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках и две альтернативные ей.

: r (1) = 0 
: r (1) > 0 
H₂ : r (1) < 0

Рассчитываем  статистику Дарбина-Уотсона: 

=  = 0,866

- кр. значения Дарбина-Уотсона (0,05; 2; 55) 

    А⁺          ?          А⁰          ?          А^-

 

0          d_L                  d_U       4-d_U             4-d_L        4 

Значение  статистики d (= 0,866) попадает в критическую область “А⁺”, следовательно, гипотеза отвергается в пользу альтернативы H₁, а значит r(1)>0.

По графику  временного ряда X2(t) можно предположить наличие структурных изменений. Проверим эту гипотезу с помощью теста Чоу и подхода Гуйарати. 
 

Критерий  Чоу. 

     В ходе своих наблюдений Робинзон заметил, что удои резко сократились в  некоторый момент времени. Он пришел к выводу, что необходимо построить  новое пастбище для своих коз, и поэтому огородил новую местность. Это изменение привело к резкому  скачку в удоях, что отразилось на временном ряде и вызвало структурные изменения.

     По  графику временного ряда было сделано  предположение о наличии структурных  изменений в момент t*=40 (40-ой месяц, 4-ый год). Проверим это предположение с помощью теста Чоу. 

t*=40, тогда:

T (t) – единая модель временного ряда 
T₁ (t) – модель временного ряда, построенная на промежутке до t* 
T₂ (t) – модель временного ряда, построенная на промежутке после t*

N, N₁, N₂ – количество наблюдений, использованное для построения моделей T (t), T₁ (t), T₂ (t).

Кусочная модель может быть записана в виде:

T₁₊₂ (t) =  
 
 

 

 

Выдвигаем гипотезу о структурной стабильности временного ряда:

H₀ : ΔESS = 0 
H₁ : ΔESS ≠ 0

ESS₁₊₂ = ESS₁ + ESS₂ = 17637380,26+12411431,02=30048811,29 

ΔESS = 145623360,70 – 30048811,29= 115574549,4 

F = ₌ (115574549,4/3)/( 30048811,29/(55-6))=62,82         F_кр (0,05; 2; 52)= 3,186

F > F_{кр ,} следовательно, гипотеза отвергается и для моделирования следует использовать кусочную модель. 
 

Критерий  Гуйарати. 

T₁(t) = θ₀⁽¹⁾ + θ₁⁽¹⁾ f₁(t) + … + θ_k⁽¹⁾ f_k(t)

T₂(t) = θ₀⁽²⁾ + θ₁⁽²⁾ f₁(t) + … + θ_k⁽²⁾ f_k(t) 

Выдвигаем гипотезу о структурной стабильности:

H₀ : {временной ряд x(t) структурно стабилен} 
H₁: {структурные изменения оказывают влияние на временной ряд x(t)} 

Построим вспомогательное  регрессионное уравнение Гуйарати:

x(t) = θ₀⁽¹⁾ + θ₀^(z) Z(t) + θ₁⁽¹⁾ f₁(t) + θ₁^(z) f₁(t)Z(t) + … + θ_k⁽¹⁾ f_k(t) + θ_k^(z) f_k(t)Z(t) + e(t) 

В нашем  случае, уравнение будет иметь  следующий вид:

x(t) =  

Z (t) =  

Оценка вектора  неизвестных параметров вспомогательного уравнения:

= (X^TX)^-1X^TY, где

Y – матрица значений временного ряда X2(t)

X =

t* = 40