Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования

 

a_ij = x_ij/X_j;   i, j = 1,2,…,n.                                                              (1.6)

 

Таким образом, коэффициент прямых материальных затрат a_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли. Следует также отметить, что диагональные элементы матрицы А (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) показывают изменение удельного внутриотраслевого потребления продукции, за определенный период времени, как результат завершения технологических цепочек на низших стадиях. Это подтверждается, например, сворачиванием высокотехнологических производств в нефтепереработке и нефтехимии: смазочных масел, высших жирных спиртов, синтетических жирных кислот и др. [8, с 29]

С учетом формулы (1.6) систему уравнений  баланса (1.4) можно переписать в виде:

          

                                                                                                                     (1.7)  

        

 

Если ввести в рассмотрение матрицу  коэффициентов прямых затрат А=(a_ij) (технологическая или структурная), вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

       

           X₁                                    Y₁

            X₂                                    Y₂

X  =       .     ,        Y =      .      ,

              .                          .

            X_n                                Y_n

 

то система уравнений (1.7) в матричной форме примет вид

 

X = AX + Y.                                                                                          (1.8.)

 

Система уравнений (1.7), или в матричной  форме (1.8) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева) или моделью «затраты – выпуск». [11,с 57-58]

Основная задача межотраслевого баланса  состоит в отыскивании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Уравнение (1.8) можно написать в  виде:

 

(E – A)X = Y                                                                      (1.9)

 

В данной формуле E обозначает единичную матрицу n-го порядка. Если матрица (E – A) невырожденная, то есть |E – A| ≠ 0, то существует обратная к ней матрица, которая обозначается через В:

 

B = (E – A)^{– 1} = (E – A) / |E – A|. [3, с 58]                                 (1.10)                                

 

Элементы матрицы В обозначаются через b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат а_ij коэффициенты  b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Итак, коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

 Система уравнений межотраслевого  баланса является отражением  реальных экономических процессов,  в которых содержательный смысл  могут иметь лишь неотрицательные  значения валовых выпусков. Встает  вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям? Чтобы ответить на этот вопрос необходимо ввести понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат.[11, с 60]

Матрица A ≥ 0 (коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной, причем диагональные элементы данной матрицы меньше единицы: а_ii<1) называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0 уравнения (1.9) в этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Иначе можно сказать, что матрица  А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X≥0, что

 

Х >АХ                                                                                                    (1.11)

 

Для того чтобы матрица прямых затрат А была продуктивной, необходимо и  достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже критериев  продуктивности:

1. Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E – A)^-1 существует и неотрицательна.
2. Матрица А ≥ 0 продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, то есть матрица А продуктивна, если аij ≥ 0 для любых i, j = 1,2,…,n  и мах            ≤ 1, и существует номер j такой, что            < 1 .[3, с 59]
3. Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд E + A + A2 +A3  +…,причем его сумма равна обратной матрице, то есть матрице В. [ 5, с 166, 171]
4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, то есть решение характеристического уравнения  | λE – A| = 0, строго меньше единицы.[11, с 61]

К числу важнейших аналитических  возможностей межотраслевого балансового метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моделью при  этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции.

Затраты живого труда в производстве j-го продукта обозначается через L_j, а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через X_j. Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

 

                                                                                                                                (1.12)

 

Также вводится понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j-го вида через T_j, то произведения вида а_ijT_i отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j-го продукта через i-е средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат а_ij выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны:

                                                                                                                                (1.13)

 

В рассмотрение вводится вектор-строка коэффициентов прямой трудоемкости t = (t₁, t₂,…, t_n) и вектор-строка коэффициентов полной трудоемкости T = ( T₁, T₂,…, T_n).

Тогда с использованием уже рассматриваемой  выше матрицей коэффициентов прямых материальных затрат А (в натуральном  выражении) и произведя очевидные  матричные преобразования системы уравнений (1.13) с использованием единичной матрицы Е, получается следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

         

                                                                                                       (1.14)

 

Матрица (Е – А) уже знакома, это  матрица В коэффициентов полных материальных затрат.

Пусть L – величина совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, тогда с учетом формулы (1.12) она равна:

                                                                                          

                                                                                                                                (1.15)

 

Вследствие, получается следующее  равенство:

                                                                                                                   (1.16)

 

здесь t и Т – вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а Х и Y – вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

Соотношение (1.15) представляет собой  основное балансовое равенство в  теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое  содержание заключается  в том, что  стоимость конечной продукции, оцененной  по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимосвязанных продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях. [11, с 75-78]

 

 

 

2 области применения и ограничения использования балансового метода для решения экономических задач

Балансовый способ служит для отражения  соотношений, пропорций двух групп взаимосвязанных и уравновешенных экономических показателей, итоги которых должны быть тождественными. Этот способ широко распространен в практике бухгалтерского учета и планирования. Но определенную роль он играет  и в АХД (анализ хозяйственной деятельности) (рис. 2.1),

Балансовый способ в АХД

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1 Применение балансового способа  в АХД

Так, например, для определения  обеспеченности предприятия трудовыми  ресурсами, составляют баланс, в котором, с одной стороны, показывают потребность в трудовых ресурсах, а с другой – их фактическое наличие. При анализе использования трудовых ресурсов сравнивают возможный фонд рабочего времени с фактическим количеством отработанных часов, определяют причины сверхплановых потерь рабочего времени. Чтобы определить обеспеченность животных кормами, разрабатывается кормовой баланс, в котором, с одной стороны, показывается плановая потребность в фураже, а с другой – его фактическое наличие. Для определения платежеспособности предприятия составляется платежный баланс, в котором соотносятся платежные средства с платежными обязательствами.[7, с 86-87]

Балансовые модели, как статистические, так и динамические, широко применяются  при экономико-математическом моделировании  экономических систем и процессов, в том числе и при решении маркетинговых задач (рис. 2.2).

 

 

                                                     Балансовые

                                                        модели в

                                               задачах маркетинга

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2 Применение балансовых моделей  в задачах маркетинга

Известно, что одним из важных разделов современной СНС является межотраслевой  баланс производства и использования  товаров и услуг (МОБ). Данные МОБ  можно применять при экономико-математических методах исследования межотраслевых связей. Это означает, что количественное выражение экономических связей каждой отрасли с другими отраслями может быть представлено в виде системы линейных уравнений.

Динамические МОБ значительно точнее описывают развитие экономики, чем любые другие экономико-математические методы (Особенностью данного вида МОБ является то, что в них из состава конечного использования исключаются капиталовложения). Но в настоящее время существует лишь теория таких балансов, так как их практическое построение весьма затруднительно. Самое широкое распространение получили МОБ, составленные по схеме «Затраты – выпуск». Кроме того, составляются таблицы «Ресурсы и использование товаров». Для анализа таких важных экономических показателей, как труд, фонды и цены также используется межотраслевой балансовый метод.

Необходимо отметить, что в мировой практике широко распространены лишь МОБ в денежном (стоимостном) выражении [12, с 187]

Несомненно, что включение в  схему межотраслевого баланса только чистых отраслей затрудняет его непосредственное применение, поскольку на практике планирование и отчетность осуществляются в рамках существующих организационных структур. Однако подобная идеализация оправдана тем, что, с одной стороны, она позволяет провести детальный анализ сложившейся технологической структуры общественного производства и распределения, а с другой – тем, что опыт, накопленный при изучении данной упрощенной схемы, привел к построению более содержательных моделей, таких, например, как модель Неймана.[1, с 12-13]

 Итак, данные МОБ могут быть  использованы:

1. для разработки прогнозов;
2. для построения межотраслевых моделей на перспективу с целью планирования или проверки сбалансированности плана;
3. для анализа экономики, в частности, для выявления роли отдельных факторов (например, зависимости экономики от энергоснабжения или от изменения цен на энергоносители);
4. для анализа влияния изменения цен на продукцию отдельных отраслей экономики, на издержки производства в целом.