Разделим  уравнение на (Е-А)

 Получим  Е=Е+А+А²+…+Аⁿ-А-А²…-Аⁿ+¹=>

1=Е-Аⁿ+¹   если n―>∞ то Аⁿ+¹—>0=> Е=1

S=Е+С

Матрица S кроме  полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все  остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.

Матрица косвенных затрат(К)

К=S-E-A матрица косвенных(опосредованных) затрат равна матрица полных затрат вычесть единичнцю матрицу и матрицу производственных затрат. Возможность разложения матрицы полных затрат и косвенных затрат дает приближенный сп-б их расчета. Матрица косвенных затарт является одной из производных матрицы полных затрат( наравне с матрицей прямых затрат). Косвенные затрат входят не непосредственно, а через продукцию других отраслей.

К=А²+А³..+Аⁿ

 
 
 

8. Производственные  функции.

 Определение,  виды, понятие множества производственных возможностей, основные свойства на примере функции Кобба-Дугласа.

ПФ – это  экономико-математическое выражение  зависимости результатов производственно-хозяйственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей факторов. ПФ обычно содержит основные факторы, оказывающие решающее воздействие на производственный процесс. Отбор главных факторов является одним из основных принципов моделирования. Из-за наличия неучитываемых факторов, неоднозначного действия учитываемых, присутствия в производственном процессе случайных явлений ПФ явл функцией лишь в статистическом смысле; описываемая ею матем зависимость проявляется лишь обще в массе наблюдений. Другими словами, ПФ явл эконометрической моделью процесса производства и выражает устойчивую закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуска. В самом общем виде ПФ может быть записана в виде F(x, y, ā)=0, где x-затраты, y-выпуск, а-параметры.

1. ПФ выпуска. Y= f(x, a)
2. ПФ затрат. X_i=h_i (Y, a), I от 1 до n.

Если рассматривается  производство с 1 продуктом и 1 ресурсом, между функцией выпуска и затрат не принцип различий, т. к. они явл взаимообратными. Если рассматривается произв процесс с несколькими ресурсам, возникает принципиальное различие: при использовании функции выпуска один и тот же объем продукции может быть получен при различных сочетаниях количества используемых ресурсов. При использовании функции затрат задание выпуска полностью определяет затраты ресурсов, поэт функция затрат может использоваться только в том случае, когда в исследуемой системе отсутствует возможность замещения ресурсов, а функция выпуска тогда, когда замена допустима.

С понятием ПФ связано понятие произв возможностей.

y

x  (заштрихованная область – область производственных возможностей)

Если производство работает эффективно, то при опред количестве ресурсов получается максим количество продукции, кот определяется по ПФ. При неэффективном производстве можно при тех же затратах получить меньшее количество продукции.

Свойства  ПФ:

1. Y=f(x₁,x₂, … x_n)

При отсутствии какого-либо ресурса выпуск равен 0. Это свойство не всеобще и  справедливо не для всех ПФ и ресурсов, а только для необходимых, без кот процесс производства невозможен.

2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не снижается. Свойство выполняется практически для всех  производственных ресурсов. Для исследования зависимости выпуска от затрат: среди ресурсов выделяем переменный фактор (x_i), а остальные фиксируют  и исследуют зависимость выпуска от переменного фактора; при этом вводится понятие совокупного, предельного и среднего продукта.

Совокупный  продукт – количество продукта, выпущенного с использованием некот количества переменного фактора. Y=f(x_i) – уравнение сов продукта. График У – кривая затраты-выпуск.

Предельный  продукт (МР) – сколько доп единиц продукции принесет 1 доп единица i-го ресурса. Этот показатель называют предельной эффективностью i-го ресурса. С его помощью свойство 2 записывается след образом:

 В этом случае процесс  производства явл рациональным. Для таких ПФ вводится понятие экономической области (сочетание ресурсов, для кот выполняется это соотношение).

Средний продукт (АР) показ сколько в среднем приходится продукта на единицу используемого ресурса. Пред и сред подукт явл абсолютными показателями.

Эластичность  выпуска по затратам ресурса (относительный прирост объема производства на единицу увелич ресурса: E_i(x_i)=MP_i/AP_i. Этот показатель характеризует % изменение выпуска при изменении затрат ресурса на 1%.

3. Закон убывающей предельной производительности. По мере увеличения одного из ресурсов при пост количестве других ресурсов предельная эффективность этого ресурса не увеличивается (функция МР не возрастает). Свойство справедливо практически для всех ресурсов.
4. Расширение масштабов производства – одновременное увеличение всех ресурсов в одно и то же число раз. Свойство выполняется не для всех ПФ, применяемых в экономике. Для характеристики последствий изменения масштабов производства вводят показатель эластичности производства: E(x)=ΣE_i(x_i), i от 1 до n. Это соотношение справедливо для всех ПФ, а не только для однородных. В случае ПФ с 1 ресурсом эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по затратам ресурсов.

 
 

Функция Кобба-Дугласа (Y=x₁^αx₂^1-α):

1. В О функция принимает нулевое значение.
2. Пред производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности:

МР₁=αх₁^α-1х₂^1-α,  АР₁=Y/x₁=(x₂/x₁)^1-α,    MP₁=α*AP₁, чтд

Так как 0<= α>=1, то МР₁<AP₁

Такой же результат  может быть получен и для 2-го фактора.

3. Эластичность выпуска по факторам постоянна: Е₁(х₁)=МР₁/АР₁=α, Е₂(х₂)=1-α.
4. Функция характеризует постоянную отдачу от расширения масштабов производства, так как явл однородной 1-ой степени, то есть δ=1, Е=1 (α+1-α).
5. Эластичность замещения ресурсов постоянна и = 1. (ω=1).

 

9. Теория поведения  потребителя на  конкурентном рынке

Модель поведения  потребителя

Поскольку основня  часть матер благ распределяется через торговлю, то у людей есть возможность отказаться от приобретения и потребления некоторых товаров, кот удовлетворяли бы их физиолог и психолог потребности. Аксиома потребителя – каждый потребитель принимает решение о потреблении исключительно исходя из своей системы предпочтений. Поэтому  в основе теории потребления лежит понятие предпочтения товаров. Объектом исследования явл-ся индивидуальный потребитель, который может представлять определенный тип совокупности потребителей (напр семья)

      На  рынке потребителю предлагается различные наборы благ, каждый из которых описывается набором неотрицательных чисел Yi

Y = (y₁  y₂   … y_n)

Y_i – кол-во i-того товара в наборе, который потребитель может и желает купить (спрос потребителя на i-той товар)

Товары реализуются по фиксированным ценам

Р = ( Р₁  Р₂  … Р_n) – вектор цен на товары спроса

Цены фиксируются  рынком и не зависят от потребителя.

К – доход  потребителя

Требуется установить, какие товары и в каком кол-ве приобретает потребитель на рынке. Для математической формализации задачи принимаются некоторые предположения относительно поведения потребителя:

предпосылка сравниваемости

У потребителя  сущ-ет сис-ма предпочтений относительно любых двух наборов:

Y₁ = (y₁¹  y₂ ¹  … y_n¹)

Y₂ = (y₁²  y₂ ²  … y_n²)

Отношения предпочтения:

Y₁ ÉY₂

Отношения эквивалентности (безразличия):

Y₁ » Y₂

Св-ва отношений  эквивалентности и предпочтения:

А) транзитивность – если первый набор товаров предпочтительнее второго, а второй предпочтительнее третьего, то первый предпочтительнее третьего.

В) ненасыщенность – если хотя бы в одном из наборов кол-во какого-либо товара превосходит кол-во этого товара в другом наборе, тот этот набор будет предпочтительнее.

С) выпуклость – для любых двух наборов, которые  эквивалентны по предпочтению, но не равны (Y₁ » Y₂, Y₁ ¹ Y₂), можно построить их линейную комбинацию:     aY₁ +(1— a)Y₂   , 0 £ a£ 1

Это требование выделяет линейную выпуклую комбинацию векторов не менее предпочтительных чем данный набор

aY₁ +(1— a)Y₂ Ê Y₁

aY₁ +(1— a)Y₂   ÊY₂

Предпосылка выбора

Если не учитывать  возможность использования сбережений, то при ценах Р = ( Р₁  Р₂  … Р_n), потребитель, имеющий доход К может приобрести кол-во товаров, удовлетворяющее след условию: затраты на потребление не должны превосходить доходов:

S P_i *Y_i £ K

При этом возникает  задача выбора из множества наборов, удовлетворяющих этому условию, оптимального набора. 

Функция полезности (ФП)

Гораздо удобнее  оценивать привлекательность товаров не на основе системы предпочтений, а количественно, т.е. приписать каждому набору Y из пространства наборов числовую функцию U(Y) – ф-ию полезности, которая позволит количественно оценивать предпочтительность того или иного набора. Главное ее требование – отражать отношения предпочтения:

Если U(Y₁) Ê U(Y₂), то Y₁ É Y₂

Всегда ли можно построить такую ф-ию? Если на систему предпочтений не накладывать  никаких ограничений, кроме рассмотренных ранее, то ФП может не существовать, однако при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, ФП сущ-ет. Главное – ФП должна отражать сис-мы предпочтений.

ФП м.б. построена  неодназначно. Имеется несколько  ф-ий кот соот-ют одной сис-ме предпочтений: U(Y) и k*U(Y) + b

Задача потребителя: найти набор товаров, чтобы:

   S P_i *Y_i £ K

   Y_i ³ 0

   Max U(Y)

Это задача выбора поведения потребителя –  модель спроса.

При выполнении св-ва ненасыщенности:

   S P_i *Y_i = K

   Y_i ³ 0

   Max U(Y)

Этот модель оптимального поведения потребителя. 

Св-ва ФП:

1)Кол-во товаров  может изменяться непрерывно, т.е.  Yi может принимать любые неотриц значения. Т.о. область определения ФП   U(Y) – любые неотриц значения

2) ФП непрерывна

3) ФП дважды  дифференцируема

Экономические св-ва:

1) U(Y) = 0 , если сущ-ет такой Yi = 0

ФП возрастает (не убывает) при увеличении кол-ва любых  товаров в наборе

U(Y₁) ³ U(Y₂) если Y₁  ³ Y₂

Ui = ¶ U(Y) / ¶ Yi ³ 0