Модель равновесных цен

регрессионные модели  с одним  уравнением

Y= F(x,а) + E    (а – вектор  параметров, Е – стохастическое  возмущение)

Y= F(x) + E – однофакторная модель  или модель парной регрессии. Если  много  факторов – модель  множественной  регрессии.

В  зависимости  от  вид  функции  модели  могут  быть  линейными и  нелинейными.

системы  одновременных  ур-й

системы  могут  состоять  из  тождеств  и регрессионных  уравнений, каждое  из  которых  кроме  независимых  переменных может  включать зависимые  пер-ые  из  др  ур-й  системы. На  практике  такие  уравнения стараются  привести  к  рекурсивному  виду. Для  этого  сначала  выбирают  показатели ,зависящие  только от  независимых факторных  переменных  и  находят эти  переменные. Выбирают  показатель, зависящий  от  независимых  и  найденных  зависимых  факторных пер-х.

модели  временных  рядов.

Это  последовательность  наблюдений  какого-либо  показателя, упорядоченного  во  t. Числовые  значения  исследуемого  показателя  называются  уровнями  ряда. Длина  ряда – время, прошедшее  от начала исследования  до  конца. Здесь  всего одна  независимая  факторная  переменная – t. Y=F(t)+E. При этом  в моделях временных рядов F разлагается на: T(t) – тренд (показывает  устойчивую  зависимость  от  t), S(t) – сезонная  компонента, С(t) – циклическая компонента. 

Методика  построения  модели.

1. формирование  проблемы  и  ее  анализ.

Проводится  качественный  анализ сущности  изучаемого  явления  или  процесса, движущих  его  сил  развития, установление  причинно-следственных  связей. На основе анализа  осуществляется  выбор  включаемых  в  модель показателей  факторов (лишь  наиболее  существенные). Выбор переменных  определяется  содержанием  и  спецификой  изучаемого  процесса.

2. формирование  исходных  данных.

В  мат  стат-ке – ген совокупность (все  возможные  наблюдения интересующего  показателя). В  эконометрике – выборка (случайно  отобранные  значения  из  ген совокупности). Главное: представительность. Методы отбора: случайный, типический, механический, серийный.

Данные бывают  2 типов:  экспериментальные  и  не экспериментальные (на основе  материалов  учета  и  стат-ки). Не экспериментальные делятся  на: перекрестные (данные, относящиеся  к одному  периоду  времени) и  временные ряды (данные за  разные  периоды). На  перекрестных  данных меньше  всег сказываются  качественные изменения  факторных  величин, но слишком  сильно может  оказаться влияние неучтенных факторов. Временные данные по  составу  стабильны, но  качественно  неоднородны  характеристики  самих  переменных.  Поэтому  возникают трудности  в  связи  с  явлениями  корреляции.

3. спецификация  модели – выбор  мат  формы Ур-я на  основе исх данных.

Y= F(x,a),  х- вектор  факторных пер-х, а – вектор  параметров.

Общие  приемы  подбора  формы  урвнения:

-графический   анализ  хар-ра  зависимости

-расчет  показателей  на  основе  роста  и  прироста

-выбор   простейших  ф-й  и  переход   к  более  сложным

-сравнение   для  различных видов  ф-й   количественных  оценок  тесноты  связей  и  стат-ой надежности  Ур-я в  целом.

Задача   моделирования: установления  вида  ф-и, наилучшим  образом   соответствующей  характеру изучаемой  связи и  оценке  точности и  адекватности модели.

4. расчет параметров модели.

существует  целый ряд  методов расчета  параметров. Наиболее  распространенный –МНК. Это метод  оценки  параметров  линейной эконометрической  модели  на  основе  минимизации  меры отклонений  наблюдаемых  значений  зависимой  переменной  У  от  искомой,  линейной  относительно А, функции Y = F (X,A).

У теоретическое  находится  по  ф-ле: Y = F (X,A).

У наблюдаемое  имеет  вид: Утеор. + Е

В  качестве  меры  отклонений  используется  сумма  квадратов  отклонений  наблюдаемых  значений У  от вычисленных  по  выбранной модели  У теор.

где  i – номер наблюдения. Необнодимым условием  экстремума  будет явяться равенство  0  системы  нормальных Ур-й  для нахождения  параметра А:

МНК применяется  для линейных  относительно  параметров однофакторных  и 

многофакторных  ф-й, а  также приводимых к линейным.

МНК  для  модели парной регрессии y=a0+a1*x.

составим  систему  нормальных  Ур-й  для  нахождения  параметров:

упростим  систему:

поделим  на  n (число наблюдений):

отсюда  найдем  параметры: определитель  системы =

(величина  = D (x) - называется дисперсией  величины х )

а1 =

a0 =

МНК  для  многофакторной  линейной  модели  (y=a0+a1x1+a2x2+…..+a_kx_k )

Xij – значение  i-й переменной  в j-м наблюдении

Запишем  ф-ю  в  матричном  виде:

Yтеор = XA          

Метод  МНК :

e_i = Yi-Yтеор  (i-е отклонение),

 

второй  и  третий  члены  равны, тогда:

  

Отсюда  получаем систему  нормальных  уравнений: 

Из  системы  нормальных  уравнений  получаем  А:

Этот  метод  может применяться  и  для однофакторной  модели, как  частный  случай, а  также однофакторных моделей, представленных  многочленами.

5.проверка  эконометрической  модели.

На данном  этапе  надо  определить, насколько  модель  согласуется  с реальными  стат  данными. Для этого на основе исходных  фактических  и  теоретических данных  вычисляют  различные стат  характеристики, позволяющие  качественно  оценить  параметры  модели, проанализировать  надежность  этих  оценок, проверить  различные  гипотезы, лежащие  в  основе  модели.

В  реальных  задачах подбирается  несколько  ф-й-кандидатов  на модель ,из которых  после  расчета  параметров и оценки адекватности  выбирается  в наибольшей  степени  отвечающая качественным и количественным  утверждениям об  объекте. 
 
 
 
 

7. Матрица полных  материальных затрат  в балансовой модели  Леонтьева

Матрица S  -- матрица полных затрат

1 вариант

S = (E - A) ^–1

        S₁₁   S₁₂   … S_1n

S =  S₂₁    S₂₂   … S_2n

    …. 

       S_n1   S_n2   …   S_nn

Откуда появилась  матрица S:

Исследуем балансовую модель:

(1) AX + Y = X

(2) X > 0

AX + Y = ЕX  (Е – единичная матрица размерности n*n)

(E – A)X = Y

1. X = (E – A)^-1 *Y = S*Y (если матрица продуктивна)

Матрица S кроме  полных затрат содерж единицу прод-ии, на кот эти затраты собираются=> Sii≥1- диагональный элемент S, а все  остальные содержат полные затраты. S- матрица полн мат затрат. Если задается ∆Y, то ∆X=S∆Y, тогда S –мультипликатор Леонтьева, через нее идет распростр-е влияния изменения конечного спроса на валов выпуск отраслей.

Экономический смысл матрицы S

Пусть одну единицу конечной продукции производит некая k-тая отрасль, а остальные отрасли конечной продукции не производят, выясним смысл элементов S_ik. Это валовое кол-во продукции, которое должна изготовить i-тая отрасль, чтобы k–тая отрасль выпустила одну единицу готовой продукции. Поэтому S_ik называют коэффициентами полных материальных затрат.

a_ik – прямые или непосредственные затраты на изготовление единицы продукции каждой отрасли. Кроме прямых, есть еще косвенные или опосредованные затраты – те затраты, которые входят в продукт через производство других отраслей.

a_j =  (a_1j    a_2j … a_ij )  -- затраты на один продукт в j-той отрасли

a_j⁽¹ = a_j * A   -- для изготовления всего вектора продукции; показывает то кол-во продукции, которое должна изготовить каждая отрасль, чтобы выпустить необходимое кол-во продукции.

Коэффициенты  затрат 1-ого порядка: a_1j    a_2j … a_ij

Матрица косвенных затрат 1-ого порядка: А⁽¹ = А*А = А²

Коэффициенты  затрат 2-ого порядка: a_j⁽²

Матрица косвенных  затрат 2-ого порядка:  А⁽² = А*А² = А³

Определим полные затраты как сумму прямых и  косвенных затрат всех порядков и назовем их матрицей С:

С = А + А² + А³ + … + Аⁿ

2 вариант  Эк смысл S=(Е-А)¯¹. Обозначим ее  решением Sij. 

Предположим, что некот k-ая отрасль выпускающая 1 единицу конечного продукта, все  ост отрасли конечн продукт не выпускают.

Y=(0,..1,0) Yk=0, тогда определим X=SY

 
 
 
 
 

(4) Sik=Xi вскрывает эк смысл матрицы S. Здесь Sikэто валов кол-во прод-ии. Кот д выпустить i-я отрасль, чтобы kотрасль выпустила ед конечной прод-ии.

 Теоретич  доказана лемма, что если А-  продуктивна, то lim(n→∞)Aⁿ=0

С=А+А²+…+Аⁿ м доказать, что S раскладывается в  ряд-сходящийся:

S=Е+А+А²+…+Аⁿ