МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ  РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

ДАГЕСТАНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 

КАФЕДРА «Моделирование и  математические методы в экономике»

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 
 

по  дисциплине: 

«Математическая экономика» 

      на  тему:

«Математическая постановка транспортной задачи  линейного

 

программирования  и решение её различными методами».

 
 
 
 

                                           ВЫПОЛНИЛА: ст-ка 3 курса гр.и-711

                                            Бегова Илина Б.

 

                                          

                                            ПРОВЕРИЛ: к.ф.-м.н.доцент  

                                            Атагишиева Г.С.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Махачкала 2010

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………….3

Глава 1. Постановка и модели транспортной задачи линейного программирования………………………………………………………………...………5

1.1. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель………..5

1.2.  Закрытая модель транспортной задачи……………………………………..9

1.3. Открытая модель транспортной задачи…………………………………….10

Глава 2. Методы нахождения опорных и оптимальных  планов………………12

2.1. Определение оптимального  и опорного плана  транспортной задачи…..12

2.2.Метод  северо-западного  угла……………………………………………………14

2.3. Метод минимального  элемента……………………………………………….16

2.4. Метод аппроксимации  Фогеля…………………………………………………19

2.5. Метод потенциалов………………………………………………………………21

Приложение……………………………………………………………………………..22

Заключение………………………………………………………………………………34

Список  литературы…………………………………………………………………..36

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Каждый  человек ежедневно, не всегда осознавая  это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными  средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий.

     Раньше  план в таких случаях составлялся  «на глазок» (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать «по науке».

     Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово «программирование» здесь и в аналогичных терминах («линейное программирование, динамическое программирование» и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово «планирование». С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу.

     Транспортная  задача линейного программирования получила в настоящее время широкое распространение в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

     Кроме того, к задачам транспортного  типа сводятся многие другие задачи линейного  программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

     Цель  заданной работы - освоить математическую постановку транспортной задачи линейного  программирования.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Постановка и модели транспортной задачи линейного программирования.

1.1. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель

     Транспортная  задача является частным типом задачи линейного программирования и формулируется  следующим образом. Имеется m пунктов отправления (или пунктов производства) А_i …, А_m, в которых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве a₁, ..., а_m единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов потребления) В₁, ..., В_m, потребность которых в указанных продуктах составляет b₁, ..., b_n единиц. Известны также транспортные расходы С_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт В_j, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что

  

т. е. общий  объем производства равен общему объему потребления. Требуется составить  такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.

     Пусть х_ij - количество единиц продукта, поставляемого из пункта А_i в пункт В_j. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:

  (1) 

     Суммарное количество продукта, направляемого  из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте. Формально это означает, что

, i 1, …, m  (2)

     Суммарное количество груза, доставляемого в  каждый пункт назначения из всех пунктов  отправления, должно быть равно потребности. Это условие полного удовлетворения спроса:

, j 1, …, n  (3)

     Объемы  перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов  потребления в пункты производства исключены:

x_ij 0, i 1, ..., m; j 1, ..., n (4)

     Транспортная  задача сводится, таким образом, к  минимизации суммарных затрат при  выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления.

Определение 1.

     Всякое  неотрицательное решение системы  линейных уравнений

, j 1, …, n и  , i 1, …, m,

определяемое  матрицей X=(x_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), называется планом транспортной задачи.

 

Определение 2.

      План X*=(x*_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), при котором функция

 

принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

     Обычно  исходные данные записываются в виде таблицы 1.

     Очевидно, общее наличие груза у поставщиков  равно  , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единице. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.

,  (5)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой.

     В ряде случаев не требуется, чтобы  весь произведенный продукт в  каждом пункте производства был реализован. В таких случаях баланс производства и потребления может быть нарушен:

, i 1, ..., m.

Введение  этого условия приводит к открытой транспортной модели.

 
 

Теорема 1.

     Любая транспортная задача, у которой суммарный  объем запасов совпадает с  суммарным объемом потребностей, имеет решение.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2.  Закрытая модель транспортной задачи

 

     Для доказательства теоремы необходимо показать, что при заданных условиях существует хотя бы один план задачи и линейная функция на множестве планов ограничена.

Доказательство. Пусть   = M > 0 . 

     Тогда   величины  x_ij = a_ib_j /M (i = 1,2,3, ... m; j = 1,2,3, ..., n)                                являются планом, так как они удовлетворяют системе ограничений

( 2 ) и  ( 3 ) .

 Действительно,  подставляя значения  в  (2) и  (3) , находим 

     = a_i ,

    = b_j .

     Выберем из значений  C_ij  наибольшее  C¢ = max C_ij и заменим в линейной функции ( 1 ) все коэффициенты  на C¢  тогда, учитывая ( 2 ) , получим

   ,

     Выберем из значений C_ij  наименьшее C¢¢=min C_ij и заменим в линейной функции все коэффициенты на C¢¢ ; тогда, учитывая ( 2 ) имеем