Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

.

Расчетные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение    уровня ряда считается аномальным.

Необходимые расчеты произведем в таблице 4.2:

 

Таблица 4.2

t
1,0	30,0	-8,9	79,2
2,0	28,0	-10,9	118,8	2,0	0,3
3,0	33,0	-5,9	34,8	5,0	0,7
4,0	37,0	-1,9	3,6	4,0	0,5
5,0	40,0	1,1	1,2	3,0	0,4
6,0	42,0	3,1	9,6	2,0	0,3
7,0	44,0	5,1	26,0	2,0	0,3
8,0	49,0	10,1	102,0	5,0	0,7
9,0	47,0	8,1	65,6	2,0	0,3
45,0	350,0		440,8

 

Так как число наблюдений в нашей задаче равно 9, то критическое  значение критерия Ирвина равно 1,5. Все  расчетные значения меньше табличного, следовательно, аномальных уровней  в данном временном ряду нет.

2. Для построения  линейной модели необходимо найти такие значения и , при которых сумма квадратов отклонений эмпирических данных от расчетной прямой является наименьшей. Данные параметры рассчитываются следующим образом:

Для этого формируется  таблица с промежуточными расчетами (табл. 4.3).

 

 

Таблица 4.3

t
1,0	30,0	-8,9	-4,0	35,6	16,0	28,5
2,0	28,0	-10,9	-3,0	32,7	9,0	31,1
3,0	33,0	-5,9	-2,0	11,8	4,0	33,7
4,0	37,0	-1,9	-1,0	1,9	1,0	36,3
5,0	40,0	1,1	0,0	0,0	0,0	38,9
6,0	42,0	3,1	1,0	3,1	1,0	41,5
7,0	44,0	5,1	2,0	10,2	4,0	44,1
8,0	49,0	10,1	3,0	30,3	9,0	46,7
9,0	47,0	8,1	4,0	32,4	16,0	49,2
45,0	350,0		0,0	158,0	60,0	350,0

 

На основе проведенных  расчетов параметры линейной модели равны:

Уравнение регрессии  зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от t (время) имеет вид:

.

Последовательно подставляя в модель значение фактора t от 1 до 9, находим расчетные значения уровней.

3. Оценим адекватность  построенной линейной модели. Результаты  исследования отразим в таблице.

Линейная модель

3.1. Модель является  адекватной, если математическое  ожидание значений остаточного  ряда близко или равно нулю  и если значения остаточного  ряда случайны, независимы и подчинены  нормальному закону распределения.

Для этого строят ряд  остатков , то есть отклонения расчетных значений от фактических значений у_t. Далее находим ряд остатков (табл. 4.4).

Таблица 4.4

t			εt	εt – εt-1	(εt – εt-1)2	εt2	εt * εt-1	|εt|/уt*100
1,0	30,0	28,5	1,5	-	-	2,2	-	5,3
2,0	28,0	31,1	-3,1	-4,6	21,2	9,6	-4,6	10,0
3,0	33,0	33,7	-0,7	2,4	5,8	0,5	2,2	2,1
4,0	37,0	36,3	0,7	1,4	2,0	0,5	-0,5	1,9
5,0	40,0	38,9	1,1	0,4	0,2	1,2	0,8	2,8
6,0	42,0	41,5	0,5	-0,6	0,4	0,2	0,4	1,2
7,0	44,0	44,1	-0,1	-0,6	0,4	0,1	-0,1	0,2
8,0	49,0	46,7	2,3	2,4	5,8	5,2	-0,2	4,9
9,0	47,0	49,2	-2,2	-4,5	20,2	4,8	-5,1	4,8
Итого	350,0	350,0	0,0	-	56,0	24,3	-7,1	33,2

 

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы . В данном случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.2. Проверка случайности  уровней ряда остатков проводится  на основе критерия поворотных  точек по формуле:

где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 – квантиль нормального  распределения для 5%-ного уровня  значимости.

Значение случайной  переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов, т.е. точка  признается поворотной, если в ней  меняется тенденция графика.

Фактическое количество поворотных точек определим с  помощью следующего графика, построенного по колонке 4 таблицы 4.4, содержащей значения (рис. 9).

 

Рис. 9. Нахождение поворотных точек

 

Количество поворотных точек равно 4. Далее рассчитывается критерий поворотных точек:

Неравенство выполняется (4>2), следовательно, свойство случайности  уровней ряда остатков выполняется.

3.3. При проверке независимости  (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

Производятся необходимые  расчеты в двух соответствующих  столбцах (ε_{t –} ε_t-1)² и ε_t² таблицы 4.4.

На основе проведенных  расчетов находится d-критерий Дарбина – Уотсона:

Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d'= 4 - d.

В нашем случае d = 2,3 > 2, значит находим d' = 4 – 2,3 = 1,7. Следовательно, ряд остатков не коррелирован, независимость выполняется.

Воспользуемся первым коэффициентом  автокорреляции, который вычислим по формуле:

Для суждения о наличии  или отсутствии автокорреляции в  исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным r(1)=0,36. Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Так как |r₁| < r(1) (0,29 < 0,36), то свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.

3.4. Соответствие ряда  остатков нормальному закону  распределения определяется с  помощью R/S-критерия:

,

где – максимальный уровень ряда остатков;

 – минимальный уровень ряда  остатков;

– среднеквадратическое отклонение, которое рассчитывается по формуле:

На основе произведенных  ранее расчетов находится среднеквадратическое отклонение :

 

Так как  и   , то R/S-критерий равен:

Вычисленное значение R/S-критерия, равное 3,2 при n=9 и при уровне значимости попадает в критический интервал [2,7 – 3,7], следовательно, закон нормального распределения выполняется.

Итак, все критерии выполняются, следовательно, построенная модель является адекватной реальному ряду экономической динамики и значит, ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

4. Оценим точность  линейной модели на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации по следующей формуле (см. последнюю колонку табл. 4.4):

.

Так как ε_отн.= 3,7 < 15, ошибку можно считать приемлемой.

5. Для решения данного пункта необходимо построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед.

Линейная модель .

При прогнозировании  на два шага имеем

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза:

Нижняя граница прогноза:

Результат прогноза представим в таблице 4.5.

 

Таблица 4.5

Время, t	Шаг, k	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
			Нижняя граница	Верхняя граница
10	1	51,9	49,6	54,2
11	2	54,5	52	57