Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Для проверки правильности нахождения переменных Y необходимо найти значение целевых функций исходной и двойственной ЗЛП.

,следовательно, производственная  программа является оптимальной и значения переменных Y определены верно.

3. Нулевое значение переменной  у₂ проанализировано в п. 2.

Подставим в функциональное ограничение  двойственной задачи для изделия  А значения переменных Y.

где

20,5 – затраты на  ресурсы для изделия А;

10 – планируемая доходность  изделия А.

Затраты на ресурсы превосходят  планируемую доходность, следовательно  изделие А выпускать не целесообразно, что и подтверждается значением х₁=0.

4. Определим как изменится  выручка от реализации продукции  при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого.

  

Далее находим  (уд. ден. ед.).

Т.е. увеличение запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого приведет к увеличению выручки от реализации продукции на 28 удельных денежных единиц.

Далее определим, как изменится  план выпуска продукции при увеличении запасов сырья  I и III видов на 4 единицы каждого.

При анализе использования сырья  установлено, что сырьё I и III видов используется в производственной программе полностью. Поэтому первое и третье неравенства из системы функциональных ограничений исходной ЗЛП можно записать в виде уравнений:

С учетом того, что х₁=0 получим:

После изменения запасов сырья  по условию получим:

Новый план выпуска продукции:

Первоначальный план выпуска продукции:

Найдем изменение плана выпуска  продукции:

для изделия Б;

для изделия В.

Т.е. увеличение запасов  сырья I и III видов на 4 единицы каждого приведет к увеличению объема выпуска изделия Б на 2 ед., а объем выпуска изделия В останется неизменным.

Для определения правильности нахождения нового плана выпуска продукции, проведем следующие расчеты.

Изделие Б:

Изделие В:

т.е. верно, т.к. совпадает с

Для определения целесообразности включения в план 2-ух дополнительных изделий составим по ним ограничения двойственной задачи.

Для изделия Г:

где

12 – затраты на сырьё;

13 – планируемая прибыль.

Для изделия Г затраты на сырьё  меньше планируемой прибыли, следовательно, изделие Г целесообразно включать в производственную программу.

Для изделия Д:

где

14 – затраты на сырьё;

12 – планируемая прибыль.

Для изделия Д затраты  на сырьё больше планируемой прибыли, следовательно, изделие Д нецелесообразно  включать в производственную программу.

 

 

 

Задача 3.4

 

Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию  трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить  продуктивность технологической  матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 

  Таблица 3.1.

Вариант	Для первой строки				Для второй строки					Для третьей строки
№	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В		2В	3В	4В
4	0,1	0,0	0,1	100	0,1	0,0	0,2	300	0,2		0,1	0,0	160

 

 

 

  Таблица 3.2.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аi j			Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	1А 1Б 1В	2А 2Б 2В	3А 3Б 3В	4А 4Б 4В

 

Решение:

1. Заполним таблицу данными:

 

Таблица 3.3.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аi j			Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	0,1 0,1 0,2	0,0 0,0 0,1	0,1 0,2 0,0	100 300 160

 

Для решения данной экономической  задачи воспользуемся табличным  процессором MS Excel.

Оценку продуктивности матрицы произведем по первому признаку.

Согласно первому признаку продуктивности матрицы Е–А неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е–А)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

Запишем матрицу прямых материальных затрат А, матрицу конечной продукции Y  и единичную матрицу Е следующим образом (рис. 4):

 

Рис. 4. Расположение матриц А, Е и Y на листе MS Excel

 

Матрица Е–А рассчитывается вычитанием из каждого члена единичной  матрицы Е соответствующие члены  матрицы А. Для этого в ячейку В6 записывается формула: =F2-B2, и так далее для остальных ячеек (рис. 5).

 

Рис. 5. Расчет матрицы Е-А

Для вычисления обратной матрицы (Е–А)^-1 воспользуемся встроенной функцией МОБР следующим образом:

• выделим диапазон ячеек для размещения обратной матрицы В10:D12;
• выбираем функцию МОБР в категории Математические;
• вводим диапазон ячеек, где содержится матрица Е–А – В6:D8;
• затем следует нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате получается следующая матрица В=(Е–А)^-1 (рис. 6).

 

Рис. 6. Расчет обратной матрицы В

 

Все элементы обратной матрицы В=(Е–А)^-1 неотрицательны, следовательно матрица А продуктивна.

Вектор валового выпуска Х вычисляется по формуле Х=ВY. Для этого необходимо воспользоваться функцией МУМНОЖ MS Excel следующим образом:

• выделим диапазон ячеек для размещения результата умножения –В14:В16;
• выберем функцию МУМНОЖ в категории Математические;
• введем в данную функцию диапазоны ячеек, где содержатся матрицы: В – В10:D12, и Y – G6:G8.
• затем следует нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате получается следующая матрица Х (рис. 7).

 

Рис. 7. Матрица валового выпуска Х

 

Распределение продукции  между предприятиями на внутреннее потребление определяется из соотношения  х_ij=а_ijХ_j. Т.е., необходимо перемножить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А и матрицу валового выпуска Х.

Для этого необходимо перемножить первый столбец матрицы  А на первый элемент матрицы Х, второй столбец матрицы А на второй элемент матрицы Х, третий столбец  – на третий элемент (рис. 8).

 

Рис. 8. Распределительная  часть баланса

 

2. Далее заполним схему межотраслевого баланса (МОБ).

В итоге баланс производства и распределения продукции предприятий  холдинга имеет следующий вид (табл. 3.4).

 

Таблица 3.4

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой     продукт
	1	2	3
1	13,58885017	0	22,29965157	100	135,8885017
2	13,58885017	0	44,59930314	300	358,1881533
3	27,17770035	35,81881533	0	160	222,9965157
Условно чистая продукция	81,53310105	322,369338	156,097561	560
Валовой продукт	135,8885017	358,1881533	222,9965157		717,0731707

Задача 4.4

 

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

 

Таблица 4.1.

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	30	28	33	37	40	42	44	49	47

 

Требуется: 

1) Проверить наличие  аномальных наблюдений. 

2) Построить линейную  модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

5) По двум построенным  моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить  графически.

 Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Предварительный анализ  временных рядов экономических  показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы: