Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Федеральное государственное  бюджетное образовательное  учреждение  высшего  профессионального  образования

«ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант №4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк – 2012

Содержание

 

Задачи………………………………………………………………...……………3

1. Задача 1.4…………………………………………………...………………3
2. Задача 2.4……………………………………………………...……………7
3. Задача 3.4…………………………………………………………...……..16
4. Задача 4.4………………………………………………………..…….......22

Список литературы………………………………………………….………...…32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

Задача 1.4

 

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации.

На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед.  На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько  гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Сформулируем ЭММ (экономико-математическую модель) задачи.

Обозначим через х₁ – сколько гектаров нужно засеять кукурузой, а через х₂ – сои.

Целевая функция  т. к. по договору за собранное зерно фермер получит: (ден. ед.).

Ограничения задачи:

 т. к. у фермера всего имеется 400 га земли;

т. к. общие затраты на сев и  уборку кукурузы и сои равны ден. ед., а фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден. ед.;

т. к. вместимость склада составляет не более 21 тыс. центнеров.

Прямое ограничение задачи: .

Решим графически первое неравенство , для этого построим прямую по двум точкам (0;400) и (400;0). Обозначим её на графике цифрой 1 (рис. 1).

 

Рис. 1. Решение задачи графическим методом

 

Для определения искомой  полуплоскости выбираем контрольную  точку координаты О (0;0) и подставим  эти координаты в первое неравенство: – верно, т. е. начало координат лежит в искомой полуплоскости (заштрихуем полуплоскость, содержащую начало координат на рисунке 1).

Аналогичным образом построим области  решения двух других неравенств.

Построим прямую по следующим точкам:

х₁=0; х₂=600 (0;600);

х₁=300; х₂=0 (300;0).

Обозначим прямую на графике цифрой 2.

– верно, т.е. начало координат лежит в искомой полуплоскости (заштрихуем полуплоскость, содержащую начало координат).

Построим прямую по следующим точкам:

х₁=0; х₂=350 (0;350);

х₁=700; х₂=0 (700;0).

Обозначим прямую на графике цифрой 3.

– верно, т.е. начало координат лежит  в искомой полуплоскости (заштрихуем полуплоскость, содержащую начало координат).

Обозначим вершины заштрихованной области латинскими буквами. Получим, что OABCD – это область допустимых решений, т. е. область, где выполняются ограничения задачи.

Приравняем  целевую функцию постоянной величине а: 90x₁+360x₂ = а. Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x₁+360x₂ = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x₁ = 600, x₂ = -150 то в качестве второй точки возьмем точку с координатами (600;-150). Через эти две точки проведем линию уровня f(Х)= 90x₁+360x₂ = 0.

Для определения  направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. (90;360). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;360) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента. В нашем случае, после пересечения с точкой А, линия уровня выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции. Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: f(Х) =90*0+360*350=126000 и достигается при x₁ = 0, x₂=350.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 350 га – соей. При этом он получит 126 тыс. ден. ед. при реализации зерна по договору.

Если поставить  задачу минимизации функции f(Х) = 90x₁+360x₂ при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ничего, если не засеет поле зерновыми культурами.

 

 

 

 

 

 

Задача 2.4

 

Использовать аппарат  теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Таблица 2.1.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие			Запасы                   сырья
	А	Б	В
I II III	4 3 1	2 1 2	1 2 3	180 210 244
Цена         изделия	10	14	12

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого;

- оценить целесообразность  включения в план изделия "Г"  ценой 13 ед., на изготовление которого  расходуется соответственно 1, 3 и  2 ед. каждого вида сырья и изделия "Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем ЭММ  исходной ЗЛП.

Обозначим через х₁ – объем выпуска изделия А, через х₂ – объем выпуска изделия Б, а через х₃ – изделия В.

Функциональные ограничения  исходной ЗЛП (ограничения по типам  сырья):

Прямое ограничение  исходной ЗЛП: .

Целевая функция исходной ЗЛП:

Значение переменных х₁, х₂, х₃ найдем, запрограммировав ИЗЛП в Excel.

Найдем оптимальный  план задачи с помощью надстройки Excel «Поиск решения».

Введем исходные данные в созданную форму. В нашей  задаче оптимальные значения вектора  Х=(Х₁, Х₂, Х₃) будут помещены в ячейках С3:E3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке F4 (рис. 2).

 

Рис. 2. Таблица с исходными  данными

 

Данные введены.

Введем зависимость  для целевой функции:

Курсор в F4 - Курсор на кнопку «Мастер функций» - Курсор в окно «Категория» на категорию «Математические» - Курсор в окно «Функции» на СУММПРОИЗВ - В массив 1 ввести С$3:E$3 - В массив 2 ввести С$4:E$4 - Готово. В F4 введена функция.

Введем зависимость  для левых частей ограничений:

Курсор в D7: СУММПРОИЗВ (С3:E3;A7:C7) - Курсор в D8: СУММПРОИЗВ (С3:E3;A8:C8) - Курсор в D9: СУММПРОИЗВ (С3:E3;A9:C9). На этом ввод зависимостей закончен.

После выбора команд «Сервис» - «Поиск решения» появится диалоговое окно «Поиск решения».

Назначение целевой  функции:

Курсор в поле «Установить  целевую ячейку» - Ввести адрес $F$4 - Ввести направление целевой функции: Максимальному значению - Ввести адрес искомых переменных: Курсор в поле «Изменяя ячейки» - Ввести адреса $C$3:$E$3.

Ввод ограничений:

Курсор в поле «Добавить». Появится диалоговое окно «Добавление  ограничения». В поле «Ссылка на ячейку» ввести адрес $D$7 - Ввести знак ограничения <= - Курсор в правое окно - Ввести адрес $F$7. Добавить. Аналогично добавить оставшиеся ограничения.

На экране появится диалоговое окно «Поиск решения» с введенными условиями.

Ввод параметров для  решения ЗЛП: Открыть окно «Параметры поиска решения» - Установить флажок «Линейная модель», что обеспечивает применение симплекс-метода и «Неотрицательные значения». Выполнить (рис.3).

 

Рис.3 . Результаты поиска решения

 

Полученное решение  означает, что максимум функции равен 1420, при Х₁=0, Х₂=74 и Х₃=32. X* (0; 74; 32) – оптимальный план.

Проверка: 4*0+2*74+1*32 = 180 = 180

                  3*0+1*74+2*32 = 138 < 210          (*)

                  1*0+2*74+3*32 = 244 = 244

Значение целевой функции: f(X^*) = 10*0+14*74+12*32 = 1420.

2. Сформулируем ЭММ двойственной задачи.

Обозначим через у₁ – двойственную оценку сырья I (стоимость единицы сырья), через у₂ – двойственную оценку сырья II, а через у₃ – сырья III.

Функциональные ограничения  двойственной ЗЛП:

Прямое ограничение  двойственной ЗЛП: .

Целевая функция двойственной ЗЛП (суммарные затраты на ресурсы):

Для осуществления анализа  использования сырья необходимо в функциональные ограничения исходной ЗЛП подставить значения переменных Х.

Сырье I-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у₁>0.

Сырье II-ого типа в производственной программе используется не полностью, является недефицитным и его двойственная оценка равна нулю, т.е. у₂=0.

Сырье III-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у₃ >0.

Теперь определим значение переменных у.

Т.к. при решении исходной ЗЛП  получено, что х₁=0, то изделие А в производственную программу предприятия не входит, следовательно, ограничение двойственной задачи по изделию А можно из рассмотрения исключить.

Т.к. и то изделия Б и В вошли в производственную программу и, следовательно, эти изделия в двойственных оценках не убыточны, т.е. стоимость затрат на ресурсы по крайней мере равна планируемой доходности.

На основании этого второе и третье неравенства функциональных ограничений двойственной ЗЛП можно записать в виде уравнений:

Ранее установлено, что у₂=0, тогда: