Экономико-математически модели управления запасами

где p – дополнительные затраты при изменении объема выпуска продукции; q – затраты, связанные с содержанием запасов.

     В простейшем случае, когда неравномерность  графика и увеличение запасов  является одинаково нежелательными, задача заключается в минимизации 

при соблюдении условий:

     x_t + s_t-1 - s_t = a_t;

     x_t+1 - x_t - y_t + z_t = 0; 

     Рассмотрим  указанную задачу на конкретном примере. (Приложение1).

 

2.4. Модель с определением  точки заказа. 

       В реальных ситуациях  следует учитывать время выполнения заказа Q.  Для обеспечения бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается j. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна 

где [.] – целая часть числа (.).

       Для обеспечения  бездефицитной работы необходим  минимальный начальный запас  I₀, величина которого I₀ = Qv. Пусть I – фактический начальный запас. Для непрерывной работы необходимо, чтобы I >= Qv. Время потребления начального запаса равно I/v. Чтобы заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент T₀ =  I/v – Q. В общем случае заказы нужно размещать в моменты 

       В системе  с конечной интенсивностью поступления  заказа при определении оптимальной  точки рассматриваются два случая:

      

       Для системы  с учетом неудовлетворенных требований точка заказа определяется по формуле 

и может  быть отрицательной величиной. Это  означает, что заявки на пополнение запаса должны посылаться, когда величина дефицита составляет [j].

 

5. Многономенклатурные модели.

 

     До  сих пор мы считали, что каждый вид товара хранится на складе независимо от остальных. Это допущение будет справедливым, если не налагаются ограничений на размер капиталовложений в запасы, на емкость складских помещений и т. п. Однако для многих случаев на практике имеют место указанные ограничения, и необходимы изменения размеров заказов по сравнению с какой-либо индивидуальной политикой, чтобы имелось соответствие наличным ресурсам. Кроме того, могут быть наложены ограничения на пропускную способность путей доставки и отпуска товаров со склада.

     Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%.

      Раздельная  оптимизация. При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции вычисляются по формуле

      Откуда, используя  необходимый признак экстремума, находим

     Минимальные издержки в единицу времени составляют

      Пусть общая  складская площадь ограничена величиной  f. Ограничение на складские площади имеет вид:

где f_i – площадь, необходимая для хранения единицы i-го вида продукции, q_i – величина партии i –го вида продукции.

     В выражении (2.7) обычно вводится нормировочный  множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h=1. Полагая h=1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь является средней. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому

С учетом сказанного ограничение (2.7) запишется так:

Для определения  экстремума функции (2.6) при наличии  ограничения (2.8) применим метод множителей Лагранжа. Составим дополнительную функцию Лагранжа, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это функция, экстремальное (максимальное или минимальное) значение которой необходимо определить. В нашей задаче – это суммарные издержки в единицу времени, которые надо минимизировать. Второе слагаемое – это разность между левой и правой частью ограничивающего условия. Умноженная на неопределенный множитель  u, которому можно придать любое произвольное значение. Если ограничение является несущественным,

то о                    - отрицательная величина, а u = 0. возможны два случая

      Это обеспечивает возможность составления функции  Лагранжа.

Поскольку выражение                         в любом случае равно нулю, то функция  

суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид

      Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам q_i и u и приравняем частные производные к нулю

Откуда  выводим систему из N+1 уравнения с N+1 неизвестной q₁,…q_n, u

      Неопределенный  множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.

      Аналогично  решается задача, если ограничения  накладываются на величину оборотных средств A, вложенных в запасы. Пусть a_i - стоимость единицы материала i – го вида, тогда ограничение имеет вид:

      Запишем систему  для решения задачи

     Неопределенный  множитель Лагранжа в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу.

      Полное  совмещение заказов. При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Суммарные издержки размещения N заказов считаются равными                      где K₀ –

фиксированные издержки, не зависящие от числа  номенклатур, а 

- доля издержек  заказа, связанных с размещением  его на каждой номенклатуре. Период  размещения заказа по всем  номенклатурам будет общим. Обозначим  его через r . Издержки размещения заказов и содержание запасов в единицу времени

       Отсюда

       
Часто необходимо бывает минимизировать суммарные издержки при различных ограничениях. Пусть, например площадь склада равна f , а единица i-го вида продукции требует для хранения                     квадратных

     

метров. С учетом того, что q_i = ru_{i ,} ограничение по складским площадям имеет вид

Ограничение по оборотным средствам

      В случае одного ограничения задача решается по следующей  схеме. Определяется r₀ по формуле (2.10). Если r₀ удовлетворяет ограничению, то r*= r₀ . Если r₀ не удовлетворяет ограничению, то r* должно превратить ограничение (2.11) или (2.12) в строгое равенство, тогда оптимальный период возобновления поставок для ограничения по площади

для ограничения по оборотным средствам

Оптимальный поставочный комплект

 

       ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

        В любой задаче управления  запасами решается вопросы выбора  размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим детерминированным.

        В большинстве моделей управление  запасами осуществляется оптимизацией  функции затрат, включающей затраты  на оформление заказов, закупку  и хранение продукции, а также  потери от дефицита. Потери от  дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

        Известные модели управления  запасами редко точно описывают  реальную систему. Поэтому решение,  получаемое на основе моделей  этого класса, следует рассматривать  скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абчук В.А. Экономико-математические методы. СПб.: Союз, 1999 г.
2. Сакович В.А. Модели управления запасами. Мн. 1986г.
3. Сидин Э.Ф. Экономико-математические модели. М. 2000г.
4. Экономико-математические методы и модели. под общей редакцией А.В.Кузнецова. Мн. БГУ 1999г.
5. Рыжиков Ю. И. «Теории очередей и управления запасами»
6. Кудрявцев Б.М. Модели управления запасами – М.: 1987г.
7. Модели управления запасами: учебное пособие – М.:  Московский институт управления, 1987 г.
8. Беляев Ю. А. Дефицит, рынок и управление запасами – М.: Университет дружбы народов, 1991 г.
9. Терехов Л. Л. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении – Киев издательское объединение «Вища школа», 1984 г.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

     Требуется составить на 1 квартал года подекадный график производства детали 005, входящей в изделия четырех видов, график выпуска которых показан в табл. 1.1. В таблице отражены также количество деталей на единицу изделий и сроки опережения. Эти данные позволяют определить график подекадной потребности в деталях. Например, изделие Б начинает выпускаться со второй декады февраля в количестве 100 шт. Выпуск детали 005 для этого изделия должен происходить с опережением на 4 декады (т. е. в первой декаде января) и в количестве 200 шт. (по 2 детали на изделие). Аналогично определяется график потребности по всем декадам планируемого периода. Принимая s₀ = 0, имеем следующую модель:

      s₁ + s₂ +…+ s₉ + y₁ + y₂ +…+y₈           min

при соблюдении условий:

     x₁ + s₀ – s₁ = 400;

     x₂ + s₁ – s₂ = 550;

     x₃ + s₂ – s₃ = 390;

     x₄+ s₃ – s₄ = 740;

     x₅ + s₄ – s₅ = 690;

     x₆ + s₅– s₆ = 650;

     x₇ + s₆ – s₇= 500;

     x₈ + s₇ – s₈ = 650;

     x₉ + s₈ – s₉ = 1050;