Экономико-математически модели управления запасами

      Функция затрат образует показатель эффективности принятой стратегии и учитывает следующие издержки:

• расходы на хранение;
• транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии;
• затраты на штрафы.

      Иногда  в минимизируемую функцию включаются доходы, полученные от продажи остатков запаса в конце каждого периода. В некоторых случаях ставится задача максимизации доходов.

      Ограничения в задачах управления запасами могут быть различного характера. Известны следующие виды ограничений:

• по максимальному объему (весу, стоимости) запасов;
• по средней стоимости;
• по числу поставок в заданном интервале времени;
• по максимальному объему (весу, стоимости) поставки или кратности этого объема некоторой минимальной величине (целое число стандартных «упаковок» - вагонов, бочек, коробок);
• по доле требований, удовлетворяемых из наличного запаса (без дополнительных задержек).

      Необходимо  отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. Под запасами можно подразумевать: наличие товара; рабочую силу, планируемую для выполнения конкретного задания; объем информации в базе данных; численность персонала данной квалификации и т.д. Таким образом, при переосмысливании элементов модели методами теории управления запасами может быть решен широкий круг задач оптимального планирования.

 

      2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ  МОДЕЛИ. 

     Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам  управления запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.

        В этом разделе обсуждается  пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о  характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используются различные методы решения. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.  

 

       2.1. Модель Уилсона. 

      Рассмотрение  моделей управления запасами начнем с простейшего случая.

      Модель  Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который  минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

      Экономическая партия товара вычисляется при следующих  упрощениях реальной ситуации:

• уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;
• выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного q;
• накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;
• ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

     Данная  политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность  потребления запасов близка к  постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

      Простейшая  модель оптимальной партии поставки строится при следующих предложениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты K на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис. 2.1. показана динамика изменения уровня  I запасов.

        

      

        

        
 

        

      Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной r между поставками называется циклом. Издержки в течение цикла L_ц состоят из стоимости заказа K и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса I¹ = q/2 и длине цикла r = q/v, 

       Разделив это  выражение на длину цикла, получим  издержки в единицу времени 

       Оптимальный размер партии определяется из уравнения 

(необходимый  признак экстремума). Отсюда находим  оптимальный размер q* партии: 

       Так как d²L/dq² >0 (достаточный признак экстремума), то для всех q>0 выражение (2.2) является минимумом функции затрат (2.1). Уравнение (2.2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, поставляем значение q* в соответствующие выражение. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые 

единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени 
 

      Пример 1.

      Жидкие продукты нескольких видов разливаются в пакеты на одной линии упаковки. Затраты на подготовительно-заключительные операции составляют 700 ден. ед., потребность в продуктах составляет 140000 л в месяц, стоимость хранения 1 л в течение месяца – 4 ден. ед. Определить оптимальные параметры системы. Сравнить минимальные затраты с затратами при действующей системе разлива одного продукта в течение трех дней.

       Решение. Оптимальные параметры модели Уилсона:

      

      При действующей системе r_д = 3 (дня) = 0,1 (месяца), q_д = r_д v = 14000 (литров). Величину затрат при действующей системе найдем по формуле (2.1):

      

 
2.2. Модель с конечной  интенсивностью поступления  заказа. 

       Пусть заказанная  партия поступает с интенсивностью u единиц в единицу времени. Очевидно система может работать без дефицита, если интенсивность поставок u превосходит интенсивность потребления v. Таким образом рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рис. 2.2. В течение времени r₁ запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение r₂ запас только расходуется. Длина цикла r = r₁ + r₂ . Учитывая, что максимальный наличный запас I_м = q(1-v/u) издержки системы в единицу времени составят

        

        
 

      

      

        

       Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величины оптимальной  партии

      

оптимальный период возобновления заказа 

и его составляющие 

минимальные издержки в единицу времени 

      

       В случае, когда  интенсивность поставки значительно  больше интенсивности потребления  v/u    0, а (2.3), (2.4), (2.5) становятся параметрами обычной системы Уилсона. 

 

      2.3. Модель с учетом неудовлетворенных требований. 

       В некоторых  случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит  допускается. Пусть требования, поступающие  в момент отсутствия запаса, берутся  на учет. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса рис. 2.3. Максимальная величина наличного запаса Y = q-y расходуется за время r₁ (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени r₂ (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженый спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, составляют d. Затраты на хранение продукции пропорциональны средней величине запаса (q-y)/2 и времени его существования (q-y)/v; аналогично убытки от дефицита пропорциональны средней величине дефицита y/2 и времени его существования y/v. Средние издержки работы системы в течение цикла, включающие затраты на размещение заказа, содержание запаса и потери от дефицита

      

      

        

      

      

      

      

      

        
 

       Разделим издержки цикла на его величину r = q/v и получим издержки работы системы в единицу времени 

      Откуда  обычным способом находим

        

      

       Подставив значения q* и y* в соответствующие выражения, найдем другие оптимальные параметры системы

        

     В более сложных моделях управления запасами сохраняется общий подход: строится функция затрат на приобретение запаса, строится функция потерь при  хранении запаса и при его нехватке, находится уравнение запасами, при котором минимизируются затраты и потери.

     Возможно  также решение задач управления запасами, в которых на переменные величины накладываются определенные ограничения. В качестве примера  рассмотрим задачу оптимизации режима производства и хранения, которая относится к комбинированным задачам: задачам составления календарных расписаний и задачам управления запасами.

     Задача  выравнивания графика производства при неравномерной потребности  в производимой продукции возникает на многих предприятиях. Для расчета графика производства решается следующая задача. Известна потребность в деталях определенного вида - a_t, где t=1,2,…, T – планируемый отрезок времени. Выпуск деталей за этот отрезок времени x_t является искомой величиной. Неизвестен и запас изготовленных деталей на конец отрезка времени t-s_t. Известен лишь начальный запас s₀ . Очевидно, что запас на начало t-го периода s_t-1 вместе с производством за этот период x_t должен быть равным потребности a_t, плюс запас на конец периода s_t, т. е. x_t+ s_t-1- s_t= a_t.

     Одним из условий задачи является равномерность  составляемого графика производства. Поэтому чем меньше по абсолютной величине разница в выпуске деталей  за каждые два последовательных периода (x_t+1- x_t), тем стабильнее график выпуска. Представим эту разность как разность двух других независимых: x_t+1- x_t = y_t-z_t. Неотрицательные переменные y_t и z_t показывают: y_t - прирост, а z_t – снижение производства при переходе от t-к (t+1)-й декаде. Целевая функция данной задачи имеет вид