Вернемся  к предпосылкам модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.                                                                               Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Итак, ниже в ПРИЛОЖЕНИИ А приведена схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении [11,234], а также  более подробная схема - ПРИЛОЖЕНИЕ Б.

      В основу схемы положено разделение совокупного  продукта на две части: промежуточный  и конечный продукт, всё народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей   (имеются ввиду чистые отрасли), при этом каждая фигурирует как производящая и как потребляющая.

Рассмотрим  схему МОБ в разрезе его  крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

       Первый  квадрант МОБ – это шахматная  таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещённые на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются хij, где i и j -  соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так величина х₂₃ понимается как стоимость средств производства, произведённых в отрасли с номером 2 и потреблённых в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3. Таким образом первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

      Во  втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального  производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования ( на потребление и накопление) Yi; в развёрнутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показано дифференцировано по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода на фонд потребления и фонд накопления, структуру накопления и потребления по отраслям производства и потребителям.

      Третий  квадрант МОБ также характеризует  национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей.  Сумму амортизации (cij) и чистой продукции (vj  + mj) некоторой j-той отрасли называют условно чистой продукцией этой отрасли ( в дальнейшем в курсовой работе обозначим её как (Zj).

       Четвёртый квадрант баланса находится на пересечении второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется  содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате  перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий , государства. Данные четвёртого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Важным является то, что итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

      Таким, образом, в целом межотраслевой  баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального  производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и расходов населения. Следует отметить, что хотя валовая продукция не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на схеме баланса в виде столбца , расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов  (т.е. для проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

       При этом выделяют два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющиеся основой его экономико-математической модели [11,236]:

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, делают вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

Хi = ∑хij +Zj;  j=1,..n.  (1.1)

Данное  соотношение (1.1) отражает стоимостной  состав продукции всех отраслей       материальной сферы.

          Во-вторых, рассматривая схему по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая  продукция той или иной отрасли  равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Xi = ∑xij + Yj; i=1,..n. (1.2)

       Формула (1.2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммировав по отраслям уравнения (1.1), в результате получим:

∑Xj = ∑∑xij + ∑Zj

При этом аналогичное суммирование уравнений (1.2) даст следующее:

∑Xi = ∑∑xij + ∑Yi

Заметим, что левые части равенств равны, так как представляют собой весь валовый общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться соотношение:

   ∑Zj = ∑Yi (1.3)    [7,238]

Левая часть уравнения (3) есть сумма третьего квадранта, а правая  часть –  итог второго квадранта. В целом  же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

2.2 Технологическая  матрица как основа   МОБ

 

     Основу  информационного обеспечения балансовых моделей  в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов  по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица – таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом [8, 103]: 

aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n)                 (2.1) 

Итак, коэффициент  прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы  (2.1)  систему уравнений  баланса можно переписать в виде:

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,

(i = 1, 2,...,n), или 
 

Xi= ∑aijXj+Yi     (2.3) 

если  ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А, вектор-столбец  валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

           || x1 ||                || a11 a12 ... a1n  ||              || y1 ||

           || x2 ||                 || a21 a22 ... a2n  ||              || y2 ||

X =  || ...  ||,       A =  || ... ... ...       ...  ..|| ,    Y = || ... ||,

           || xn ||                || a1n a2n ... ann  ||              || yn || 

то система уравнений (2.3) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y        (2.4)

данное  уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.

   С помощью этой модели можно выполнять  три варианта расчетов [11,239]:

• задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X,   (2.5)

(при  этом  E обозначает единичную матрицу n-го порядка).

• задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)  Y,  (2.6)

(при  этом  (E-A )-1  обозначает матрицу, обратную (E-A)).

• для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3).

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

    Переписав  матричное уравнение в виде:

    (E - A) X = Y, можно сделать  следующие  выводы:

    Если  матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю),  тогда  имеем:

X = (E - A) -1 Y.

    Обозначим обратную матрицу В=   (E - A)-1

    Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение  (2.6) теперь запишется как:

X=BY  (2.7) (11)

    Элементы  матрицы В будем обозначать через  bij, тогда из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение [11]:

Xi =∑biYj, I=1…n 

          В отличие от коэффициентов  прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

          Чтобы выяснить экономический  смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

    

           || 1 ||           || 0 ||               || 0 ||

           || 0 ||           || 1 ||               || 0 ||

Y1 = ||... ||, Y2 =  ||....||,  Yn =  ||... || .

            || 0 ||           || 0 ||               || 1 || 
 
 
 
 
 

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут: 

         ||s11||                ||s12||                    ||s1n||

         ||s21||                ||s22||                     ||sn2||

Y1 =  ||..  .||,     Y2 =||...  ||,    ...,    Yn = ||...  ||.

         ||sn1||                ||sn2||                    ||snn|| 

          Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

      В соответствии с экономическим смыслом  задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij