Контрольная работа по "Экономике"

Таблица 5.

 

      В первой нижней строке под таблицей записаны суммы соответствующих граф, во второй – соответствующие средние значения. 

Наличие тренда, то есть меру связи между  переменными t и Y_t оценим по коэффициенту корреляции. Построим вспомогательную расчетную таблицу:

Таблица 6.

 

Коэффициент корреляции:

     ____   _   __

     t ∙ Y_t – t ∙ Y_t

r = ————

        s_t ∙ s_y 

где s_t = √∑(t – t_ср)²/n 

     s_y = √∑( Y_t – Y_ср)²/n 

     t_ср = ∑t / n 

     Y_tср = ∑ Y_t / n 

     t_ср = 45/9 = 5 

Y_tср = 136/9 = 15,11 

s_t = √60/9 = 2,58 

s_y = √416,89/9 = 6,81 

r = (93,11 – 5 ∙ 15,11)/(2,58 ∙ 6,81) = 0,999 

      Оценим  полученный коэффициент корреляции по статистике Стьюдента. То есть проверим гипотезу о ненулевом коэффициенте корреляции генеральной совокупности. Для проверки гипотезы установим значения t_a и F_a и сравним с заданными табличными значениями.

         r²(n – 2)     0,999²(9 – 2)

t_a = ———— = ————— = 3542,19

           1 – r²       1 – 0,999² 

Для уровня значимости a = 0,05 при числе степеней свободы m = 9 t_табл = 2,262. Так как t_a > t_табл, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.

     Для проверки адекватности модели в соответствии и видом формул 

       |ε_ср|       _         ∑(ε_t – ε_t-1)²

ť = —— ∙ √n  d = —————  r₁ = (∑ε_t∙ε_t-1) : ∑ ε_t².

        S_∑              ∑ ε_t²

   организуем  заполнение граф 9 – 13.

• Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. |ε_ср| = 0.
• Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат: 5 (сумма графы 9) больше 2 (критическое число поворотных точек).

__________        _____

      / ∑ (ε_t – ε_ср)²      / 0,82

S_∑ =   / ————— =   / ——— = 0,32

        √       n – 1  √  8 

       |ε_ср|       _   0,00     _

ť = —— ∙ √n = —— ∙ √9 = 0,00

        S_∑   0,32 

• Вычислим  d по формуле

 

       ∑(ε_t – ε_t-1)²     1,88

d = ————— = —— = 2,28

            ∑ ε_t²       0,82 

     При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 2,28 при уровне значимости a = 0,025 больше d₂ = 1,36, т.е. ряд остатков не коррелирован. Воспользоваться формулой 

   r₁ = (∑ε_t∙ε_t-1) / ∑ ε_t² = – 0,27/0,82 = – 0,33. 

   Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,36, взятым для уровня значимости a = 0,01 и n = 9, увидим, что расчетное значение по модулю меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1 % ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается. 

• Соответствие  ряда остатков нормальному распределению  установим с помощью формулы

R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________     _____

      S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √0,82/8 = 0,32 

      R/S = (0,42 – (-0,48))/S_n = 2,81 

      Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,81 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза. 

• Так как  модель оказалась адекватной, оценим ее точность. Рассчитаем среднюю относительную ошибку по формуле

 

      1   |ε_t|      1

E_отн = — ∑ —— ∙ 100% = — ∙ 0,23 ∙ 100% = 2,6 %.

            n   |Y_t|      9 

Такую ошибку можно считать приемлемой. 

6. Экстраполяция  уравнения Y_t* = 1,94 + 2,63t вперед дает прогнозное значение равное Y₁₀ = = 28,28 и равное Y₁₁ = 30,91.

     Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости a = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при n = n – 2 = 7) равен t_a,n = 1,12. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда, с учетом значения t_a,n получим интервальный прогноз:

                    ____________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 0,47

            k = 1 (t = 10).

Нижняя  граница: 28,28 – 0,47 = 27,80

Верхняя граница: 28,28 + 0,47 = 28,75

                      ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 0,50

            k = 2 (t = 10).

Нижняя  граница: 30,91 – 0,50 = 30,41

Верхняя граница: 30,91 + 0,50 = 31,41

     Таким образом, построенная модель является полностью адекватной динамике фактических  показателей. Поэтому с вероятностью 70% можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значение показателя, прогнозируемое на 10 наблюдение с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала. 

7. Представим  графически фактические значения  показателя, результаты моделирования и прогнозирования.