Контрольная работа по "Экономике"

 

      Начальные оценки параметров получим по первым пяти точка при помощи метода наименьших квадратов.

     na₀    + a₁∑x   = ∑y

      a₀∑x + a₁∑x² = ∑xy 

     5a₀   + 15a₁ = 49

      15a₀ + 55a₁ = 172 

             ∑y ∙ ∑x² – ∑xy ∙ ∑x

      a₀ = ————————

                n ∑x² – ∑x ∙ ∑x 

             49 ∙ 55 – 172 ∙ 15

      a₀ = ——————— ≈ 2,30

              5 ∙ 55 – 15 ∙ 15 

                   n∑xy – ∑y ∙ ∑x

      a₁ = ———————

               n ∑x² – ∑x ∙ ∑x 

                 5 ∙ 172 – 49 ∙ 15

      a₁ = ——————– ≈ 2,50

             5 ∙ 55 – 15 ∙ 15 

     Данные  для расчета возьмем в следующей  таблице: 

 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид:  y_x = 2,30 + 2,50x.

     Получили  a₀(0) = 2,30, a₁(0) = 2,50.

Возьмем α = 0,4, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,4 = 0,6.

Будем находить последующие значения a₀(t) и a₁(t) по формулам

a₁(t) = a₁(t – 1) + (1 – β)² ∙ (Y(t) – Y_p(t))  и  a₀(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1) + (Y(t) – Y_p(t)) ∙ (1 – β²),

где Y_p(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1)k. 

Таблица 3.

                           ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 3,25

            k = 1 (t = 10).

Нижняя  граница: 28,51 – 0,66 = 27,85

Верхняя граница: 28,51 0,66 = 29,17

                      ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 3,44

            k = 2 (t = 10).

Нижняя  граница: 31,19 – 0,70 = 30,49

Верхняя граница: 31,19 + 0,70 = 31,89 

Проверим  адекватность модели.

Проверка  случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое  число поворотных точек).

Вычислим  d по формуле 

       ∑(ε_t – ε_t-1)²      3,95

d = ————— = —— = 2,48

            ∑ ε_t²         1,59 

При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 2,48 = 1,52 при уровне значимости a = 0,025 больше d₂ = 1,36, т.е. модель адекватна.

Соответствие  ряда остатков нормальному распределению  установим с помощью формулы 

     R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________       _____

      S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √1,44/8 = 0,42 

      R/S = (0,62 – (-0,46))/0,42 = 2,55

      Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,55 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.

Результаты  аппроксимации и прогнозирования  по адаптивной модели Брауна при α = 0,4.

 

Возьмем α = 0,7, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,7 = 0,3. 

Будем находить последующие значения a₀(t) и a₁(t) по формулам 

a₁(t) = a₁(t – 1) + (1 – β)² ∙ (Y(t) – Y_p(t))  и  a₀(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1) + (Y(t) – Y_p(t)) ∙ (1 – β²),

где Y_p(t) = a₀(t – 1) + a₁(t – 1)k. 

Таблица 4.

 

                           ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)²/60 ≈ 0,85

            k = 1 (t = 10). 

Нижняя  граница: 28,83 – 0,85 = 27,98 

Верхняя граница: 28,83 + 0,85 = 29,68

                      ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)²/60 ≈ 0,90

            k = 2 (t = 10).

Нижняя  граница: 31,69 – 0,90 = 30,79

Верхняя граница: 31,69 + 0,90 = 32,59 

Проверим  адекватность модели.

Проверка  случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое  число поворотных точек). 

Вычислим  d по формуле 

       ∑(ε_t – ε_t-1)²    8,08

d = ————— = —— = 3,06

            ∑ ε_t²        2,64 

При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 3,06 = 0,94 при уровне значимости a = 0,025 меньше d₁ = 1,08, т.е. модель неадекватна.

Соответствие  ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы 

R/S = (ε_max – ε_min)/S_n,

          _______________       _____

      S_n = √ ∑(ε_t – ε_ср)²/(n – 1) = √2,58/8 = 0,57 

      R/S = (0,57 – (-0,81))/0,57 = 2,54

      Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,54 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется. 

Результаты  аппроксимации и прогнозирования  по адаптивной модели Брауна при α = 0,7.

 

Очевидно, что лучше взять α = 0,4. 

4. Для  того чтобы оценить параметры  и качество этой модели (адекватность  и точность), а также построить точечный и интервальный прогнозы, заполним следующую таблицу: